二次函数的基础知识和经典练习题

中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话39638142二次函数一、基础知识1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy（)0a；②kaxy2；()0a③2hxay()0a顶点式)；④khxay2；（)0a⑤cbxaxy2.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线.4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)1.抛物线cbxaxy2中的系数cba,,（1）a决定开口方向：几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0a时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0a时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当0b时，对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.（3）c决定抛物线与y轴交点位置：当0c时，抛物线经过原点；当0c时,相交于y轴的正半中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话39638142轴；当0c时,则相交于y轴的负半轴.2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线cbxaxy2的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.其中abackabh4422，.（3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点..3．用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）两点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.4.抛物线与x轴的交点设二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定：（1）240bac抛物线与x轴有两个交点；（2）240bac抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）；（3）240bac抛物线与x轴没有交点.5.二次函数的应用一、cbxaxy2的性质1．已知二次函数772xkxy与x轴有交点，则k的取值范围是。解：中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话396381422．二次函数cbxaxy2的图象如图，则直线bcaxy的图象不经过第象限。理由：3.二次函数cbxaxy2的图象如图，试判断a、b、c和的符号。解：4.二次函数cbxaxy2的图象如图，下列结论（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）2＜0，其中正确的是：（）A．1个B．2个C．3个D．4个理由：5．二次函数cbxaxy2的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a-b+c这四个代数式中，值为正数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个理由：6．已知直线baxy的图象经过第一、二、三象限，那么12bxaxy的图象为（）A．B．C．D．7．已知函数4212xxy，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是()A．x＜1B．x＞1C．x＞－2D．－2＜x＜48．二次函数y＝a(x＋k)2＋k，当k取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是()A．y＝xB．x轴C．y＝－xD．y轴9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则()A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话39638142C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞010．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则()A．b＞0，c＞0，＝0B．b＜0，c＞0，＝0C．b＜0，c＜0，＝0D．b＞0，c＞0，＞011．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是()A．m＞0B．m＞3C．m＜0D．0＜m＜312．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图()13．函数xabybaxy221,(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是()14．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是()A．h＝mB．k＞nC．k＝nD．h＞0，k＞0中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话3963814215．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c＝2；21a③；④b＜1．其中正确的结论是()A．①②B．②③C．②④D．③④16．下列命题中，正确的是()①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac＜0；②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；③若b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有两个不相等的实数根．A．②④B．①③C．②③D．③④二、cbxaxy2的最值1．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x（单位：分）之间大体满足函数关系式：436.21.02xxy（0≤x≤30）。y的值越大，表示接受能力越强。试根据关系式回答：（1）若提出概念用10分钟，学生的接受能力是多少？（2）概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？2．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是4522xxy。请回答下列问题：（1）柱子OA的高度是多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话396381423．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线21212xxy的一部分，根据关系式回答：（1）该同学的出手最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？4．如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y。（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由。三、函数解析式的求法（1）1．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）2．根据下列条件求抛物线的解析式：（1）图象过点（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）；（2）图象的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3；（3）图象过点（1，-5），对称轴是直线x=1，且图象与x轴的两个交点之间的距离为4。中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话396381423．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高为2.44米，问能否射中球门？4．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2。（1）求二次函数的图象的解析式；（2）设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积。5．如图：（1）求该抛物线的解析式；（2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0。6．已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点。（1）求这条抛物线的解析式；（2）如果点D（1，m）在这条抛物线上，求m值和点D关于这条抛物线对称轴的对称点E的坐标，并求出tan∠ADE的值。四、函数解析式的求法（2）1．已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的30天内，大蒜每10千克的批发价y（元）是上市时间x(天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：x（天）51525y（元）151015（1）求y与x的函数关系式；（2）大蒜每10千克的批发价为10.8元时，问此时是在上市的多少天？中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话396381422．如图，某建筑物从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面340m，求水流落点B离墙的距离OB的长。3．一男生推铅球，成绩为10米，已知该男生的出手高度为35米，且当铅球运行的水平距离为4米时达到最大高度，试求铅球运行的抛物线的解析式。4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，试求厂门的高度。5．抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。（1）求该抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）求证：△AOB∽△BDE。6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数323xy的图象与x轴、y轴的交点，并也经过(1，1)点．求这个二次函数解析式，并求x为何值时，有最大(最小)值，这个值是什么?中小学1对1课外辅导专家绿波帝欧校区电话：39638145山东路校区电话：39639143大纺校区电话396381427．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且4nm，31nm(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．9．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t(月)的关系可用一条线段上的点来表示(如图甲)，一件商品的成本Q(元)与时间t(月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高(如图乙)．根据图象提供的信息解答下面问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元?(利润＝售价