指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nnaaaanN零指数幂：01(0)aa负整数指数幂：1(0,)ppaapNa分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mnmnaaamnNn且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1)mnmnmnaamnNnaa且2、幂函数的定义一般地，函数ayx叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ayx当11,,1,2,332a时的图象见左图；当12,1,2a时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：ayx有下列性质：(1)0a时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,)上是增函数．(2)0a时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,)上是减函数；③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数.4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a.5）抽象性质：()()(),()()/()fxyfxfyfxyfxfy三、对数函数如果baN（0a，1a），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaNblogbaaNNb（0a，1a，0N）．1．对数的性质logloglogaaaMNMN．logloglogaaaMMNN．loglognaaMnM．（00MN，，0a，1a）（a,b0且均不为1）2．换底公式：logloglogmamNNa(a0,a1；0,1mm)常用的推论：（1）loglog1abba；．（2）loglogmnaanbbm（a、0b且均不为1）．1logloglog1nmNNNaaamnnm．（3），（4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质①函数logayx（0a，1a）叫做对数函数②对数函数的性质：定义域：(0,)；值域：R；过点(1,0)，即当1x时，0y．当0a时，在（0，）上是增函数；当01a时，在（0，）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数logayx与指数函数xya图像关于直线yx对称．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log,log()()fxbaaabfxbfxbfxa（定义法）bmnbanamloglog1logloglogacbcba01loga1logaaNaNalog1oyx()()()(),log()log()()()0fxgxaaaafxgxfxgxfxgx（转化法）()()()log()logfxgxmmabfxagxb(取对数法)