二次函数中三角形问题(含答案)

1二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22kykx与y轴交于点P，抛物线kxkxy4)1(22与x轴交于)0,(),0,(21xBxA两点。C是抛物线的顶点。（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；（2）若点A在点B的左侧，且021xx。①当k取何值时，直线通过点B；②是否存在实数k，使ABCABPSS？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。例2：已知抛物线)1(3)4(2mxmxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，（1）求m的取值范围；（2）若0m，直线1kxy经过点A，与y轴交于点D，且25BDAD，求抛物线的解析式；（3）若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分ACD的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。例3．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。ABCDOExy(第25题图)2例4.如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点．（1）求AB，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5.如图，抛物线254yaxax经过ABC△的三个顶点，已知BCx∥轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出ABC，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB△是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．ACByx011yxOyxOPA图2图1BBA3例6.如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数2yx的图象记为抛物线1l．（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过AB，两点，记为抛物线2l，如图②，求抛物线2l的函数表达式．（3）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点．若ABKABCSS△△，求点K的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l上是否存在点P，使ABP△为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．BOyx1l图①A11BOyx2l图②AC11BOyx2l图③A114例7.已知：如图，抛物线2yaxbxc经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C的直线ykxb与抛物线相交于点E（4，m），请求出△CBE的面积S的值；（3）在抛物线上求一点0P使得△ABP0为等腰三角形并写出0P点的坐标；（4）除（3）中所求的0P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)xyCBAE–11OA(第25题图)OxB1-1y15三．二次函数与三角形相似例9：已知一次函数1243xy的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，（1）求出A、C两点的坐标；（2）在x轴上找出点B，使ACB∽AOC，若抛物线过A、B、C三点，求出此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，使mAP，是否存在m的值，使以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。例10.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164yx与直线12yx相交于AB，两点．（1）求线段AB的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图8，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于CD，两点，垂足为点M，分别求出OMOCOD，，的长，并验证等式222111OCODOM是否成立．（4）如图9，在RtABC△中，90ACB∠，CDAB，垂足为D，设BCa，ACb，ABc．CDh，试说明：222111abh．ABOyx图7ABOyx图8CDM图9ABCDabch6例11.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．．例12.如图12，以边长为2的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线2yxbxc经过点B且与直线AB只有一个公共点．（1）求直线AB的解析式．（3分）（2）求抛物线2yxbxc的解析式．（3分）（3）若点P为（2）中抛物线上一点，过点P作PMx轴于点M，问是否存在这样的点P，使PMCADC△△？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5分）BADCOxy图127例13.如图，矩形ABCO是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(13)，．（1）如果二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过O，O两点且图象顶点M的纵坐标为1，求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM△为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和POM△的面积；若不存在，请说明理由；ABCMAOxyOC8答案：例1：解：（1）2)1(ky最小值。（2）①解得当34k时，直线过B；②过C作ABCD于D，则22)1()1(kkCD，把0x代入直线22kkxy，得22ky，∴22kOP，0421kxx。∴022,0kk，∴22kOP。若ABCABPSS，即0,2121ABCDABOPAB，∴CDOP，即2)1(22kk解得0,2,2121kkk，∴取21k，∴当21k时，ABCABPSS此时所求的抛物线的解析式为：22xxy从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高的性质推出线段相等，仅此而已。例2.解：（1）2m；（2）652xxy；（3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P，使直线PA平分ACD的面积，则直线PA必过DC的中点M。)6,0(),1,0(CD，∴)27,0(M。令0y，则0652xx，解得3,221xx。A在B的左侧，∴A坐标是（2，0）。设直线PA的解析式为)0(,kbkxy则,0227bkb解得2747bk。∴直线AM的解析式为2747xy。方程组6527472xxyxy的解为162145922211yxyx。∴点P的坐标为（2，0）（即A点）或)1621,45(。这两点均不在第一象限。∴第一象限内，抛物线上不9存在点P，使PA平分ACD的面积。本题第（3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在第一象限内不存在符合要求的点（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。例3.例4.[解]（1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy(63)(42)AB，，，（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图1）由（1）可知：3525OAOByxOMACBＥ1055AB1522OMABOB过B作BEx⊥轴，E为垂足由BEOOCM△∽△，得：54OCOMOCOBOE，，同理：55500242ODCD，，，，设CD的解析式为(0)ykxbk52045522kkbbbAB的垂直平分线的解析式为：522yx．（3）若存在点P使APB△的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2）．212164yxmyx2116042xxm抛物线与直线只有一个交点，2114(6)024m，2523144mP，在直线12524GHyx：中，25250024GH，，，2554GH设O到GH的距离为d，yxOPA图2HGB11112212551252524224552GHdOGOHddABGH，∥P到AB的距离等于O到GH的距离d．例5.解：（1）抛物线的对称轴5522axa（2）(30)A，(54)B，(04)C，把点A坐标代入254yaxax中，解得16a215466yxx（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．过点B作BQx轴于Q，易得4BQ，8AQ，5.5AN，52BM①以AB为腰且顶角为角A的PAB△有1个：1PAB△．222228480ABAQBQ在1RtANP△中，222221119980(5.5)2PNAPANABAN1519922P，②以AB为腰且顶角为角B的PAB△有1个：2PAB△．在2RtBMP△中，222222252958042MPBPBMABBM25829522P，③以AB为底，顶角为角P的PAB△有1个，即3PAB△．ACBx011Ｑ2P1P3PＮＭＫy12画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于3P，此时平分线必过等腰ABC△的顶点C．过点3P作3PK垂直y轴，垂足为K，显然3RtRtPCKBAQ△∽△．312PKBQCKAQ．32.5PK5CK于是1OK3(2.51)P，例6.解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如21yx，2yxx，2(1)2yx或223yxx，2(21)y