必修二--立体几何复习+经典例题

1一、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、二面角的平面角为9022、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：90090,02、直线与平面所成的角的取值范围是：90090,03、斜线与平面所成的角的取值范围是：90090,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：1800180,0十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点【例题分析】例2在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，.21CDMA∵E是PD的中点，∴NE∥CD，.21CDNE∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中点F，连接MF，NF．3∵MF∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝b∩α＝a，∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)证明线面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)证明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥，β∥a，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．证明：连接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．4例4在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)证明线面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)证明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；5(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C．∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC1．(2)解：当31GABG时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：连接EG，FG．∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．∵E是A1B的中点，31GABG，∴EG⊥AB．∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．例6如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．例7在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，542DCAB．6(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否垂直平面PAD．证明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，54AB，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此.32423PO在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为5585484，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为.2455825452S故.316322431ABCDPV9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,,DE分别是,ABAC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中22BC.(1)证明:DE//平面BCF;7图5DGBFCAE图4GEFABCD(2)证明:CF平面ABF;(3)当23AD时,求三棱锥FDEG的体积FDEGV.形ABC中,ADAE9.【答案】(1)在等边三角ADAEDBEC,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立,//DEBC,DE平面BCF,BC平面BCF,//DE平面BCF;(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC①,12BFCF.在三棱锥ABCF中,22BC,222BCBFCFCFBF②BFCFFCFABF平面;(3)由(1)可知//GECF,结合(2)可得GEDFG平面.11111131332323323324FDEGEDFGVVDGFGGF4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．4.如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F1分8又E是PC的中点，所以，EF∥AP2分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD（3）取AD中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积1233VPOABAD1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.1.【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥1CC,BC⊥AC，1CCACC,∴BC面11ACCA,又∵1DC面11ACCA，∴1DCBC,由题设知01145ADCADC,∴1CDC=090,即1DCDC,又∵DCBCC,∴1DC⊥面BDC,∵1DC面1BDC，∴面BDC⊥面1BDC；（Ⅱ）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121132=12，由三棱柱111ABCABC的体积V=1，∴11():VVV=1:1，∴平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为1:1.B1CBADC1A1