2009考研数学真题数一及解析

2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。地址：清华同方科技广场B座609室1（1）当时，与()axxxfsin−=()()bxxxg−=1ln20→x等价无穷小，则（）61,1−==ba61,1==ba.(B).（A）61,1=−=ba61,1=−=ba（C）.（D）.【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例4.67，强化班教材《大学数学强化299》16、17等例题。【答案】A166sinlim6sinlim3cos1lim)(sinlim)1ln(sinlim32020202020=−=⋅−=−=−−=−⋅−=−−→→→→→baaxabaxabxaxabxaxabxxaxxbxxaxxxxxxxba63−=意味选项错误。CB，203cos1limbxaxax−−=→1=a)0(0cos1→→−xaxa存在，应有，故，D错误，所以选A。再由(){}1,1,≤≤yxyx（2）如图，正方形被其对角线划分为四个区域,则()∫∫==KDKKxdxdyyIkDcos,4,3,2,1{}kkI41max≤≤＝（）dD1XY-1-111D1D2D3D4（A）(B)(C)(D)3I1I2I4I【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。参见水木艾迪考研数学春季2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化299》117题，以及《考研数学三十六技》例18-4。xycos−地址：清华同方科技广场B座609室242,DD关于x轴对称，而即被积函数是关于的奇函数，所以;两区域关于y()xyxycoscos=−31,DD042==II轴对称，yx即被积函数是关于的偶函数，由积分的保号性，(){}∫∫≤≤≥=10,,10cos2xxyyxxdxdyyI(){}∫∫≤≤−≤=10,,30cos2xxyyxxdxdyyI，所以正确答案为A。(3)设函数在区间[上的图形为])(xfy=3,1−)(xf-2-10123x-1则函数为()0()xFxftdt=∫)(xF)(xF11x-20123x-20123-1－1（A）(B))(xF)(xF11xx-10123-20123-1(C)(D)【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。由()xfy=x的图形可见，其图像与()xF()xF轴及轴、所围的图形的代数面积应为函数y0=x，由于有第一类间断点，只能为连续函数，不可导。)(xf2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪()xF)0,1(−∈x地址：清华同方科技广场B座609室3时，且为常数，应有0)(xf单调递增且为直线函数。)1,0(∈x时，0)(xf，且单调递减。(),0≤xF)2,1(∈x时，，单调递增。时，，为常值函数。正确选项为D。【答案】D。()xF0)(xf()xF)3,2(∈x0)(=xf（4）设有两个数列{}{},,nnba0lim=∞→nna则（）若（A）当收敛时，收敛。（B）当∑发散时，∑发散。∑∞=1nnb∑∞=1nnnba∞=1nnb∞=1nnnba（C）当∑∞=1nnb收敛时，收敛。（D）当∑∞=122nnnba∑∞=1nnb发散时，发散。∑∞=122nnnba【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。21nb∑∞=1nnb0lim=∞→nnaNNn0lim=∞→nnb（方法1）收敛，则，又，必存在，使当时21nannnbba22，立即由正项级数的直接比较法得到：且（极限的有界性！），当∑∞=1nnb收敛时，收敛。应选C。∑∞=122nnnba参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版社）自测模拟题15.3，例15.4。()nbannn11−==nbann1==nbann1==（方法2）反例：对A取，对B取，对D取。32131,21,aaa3R（5）设是3维向量空间32,1,aaa的一组基，则由基到基133221,,aaaaaa+++的过渡矩阵为（）⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−614121614121614121⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−616161414141212121（A）（B）（C）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛330022101⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛301320021（D）32131,21,aaa133221,,aaaaaa+++的过渡矩阵满足到【解析】由基()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+++33002210131,21,,,321133221aaaaaaaaa所以此题选（A）。2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪【点评】本题考查的主要知识点：过渡矩阵。地址：清华同方科技广场B座609室4(6)设A,B均为2阶矩阵，分别为A,B的伴随矩阵，若∗∗BA,,3,2==BA则分块矩阵的伴随矩阵为（）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0BAO（A）（B）（C）（D）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗∗OABO23⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗∗OABO32⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∗∗OBAO23**23OABO⎛⎞⎜⎟⎝⎠【答案】B632)1(0022=×=−=×BABA【解析】由于分块矩阵的行列式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛00BA，即分块矩阵可逆，根据公式,*1−=CCC⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−∗01106006000000**111AABBABBABABA⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=03200213106****ABAB，故答案为B。【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的逆矩阵等。()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ+Φ=217.03.0xxxF)(xΦ(7)设随机变量X的分布函数为其中为标准正态分布函数，则EX＝（）（A）0.(B)0.3.(C)0.7(D)1.()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Φ+Φ=217.03.0xxxF【解析】因为()()22222)1(22217.0213.02127.03.0×−−−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=′xxeexxxFππϕϕ所以，2221xe−π由于是的密度函数，故其期望为0，)1,0(N2222)1(221×−−xeπ是的密度函数，其期望为1.所以)2,1(2N()7.017.003.0=×+×=′=∫+∞∞−dxxFxEX，【答案】(C)2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。其中需要知道正态分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。(8)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为{}{}2110====YPYP,记为随机变量Z=XY的分布函数，则函数的间断点个数为（）)(zFZ)(zFZ（A）.0(B).1(C).2(D).3()()()()()1)1(00==≤+==≤=≤=YPYzXYPYPYzXYPzXYPzFZ【解析】()()[]1021=≤+=≤YzXYPYzXYP=()()[]10021=≤+=≤⋅YzXYPYzXP=()()([]zXPzXPzFZ≤+≤⋅=021)由于X,Y独立。。()()()zzFzZΦ=21,01则若；()()()()zzFzZΦ+=≥121,02则若z=0为间断点，故选（B）【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。yxz∂∂∂2()xyxfz,=（9）设函数具有二阶连续偏导数，(vuf,)＝。则【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-10题，水木艾迪考研《大学数学同步强化299》例10.12，10.13，10.15等，还有《考研数学三十六技》例15-1，15-3，15-5等，以及《考研数学通用辅导讲义----微积分》101，103等例题。地址：清华同方科技广场B座609室5答案：22212fxyffx′′+′+′′,21yffxz⋅′+′=∂∂22212222122fxyffxfxyffxyxz′′+′+′′=′′+′+′′=∂∂∂(),21xexCCy+=（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0=+′+′′byyay的通解为则非齐次方程满足条件xbyyay=+′+′′()()00,20=′=yy的解为y=。二阶常系数线性齐次微分方程解与方程的关系【解析与点评】答案：2++−=xxeyx由得二阶常系数线性齐次微分方程(),21xexccy+=0=+′+′′byyay的特征值xyyy=+′−′′21,2=−=ba,121==λλ故，要求解的微分方程为。2009考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话：62701055\82378805教学与命题研究中心清华大学数学系教授刘坤林俞正光谭泽光葛余博叶俊章纪民水木艾迪=+′−′′2地址：清华同方科技广场B座609室6设特解代入微分方程为BAxy+=0xBAxA=++−2，得出xyyy=+′−′′22+=′′xy2,1==BA，故微分方程为的特解，通解为()221+++=xexccyx()20=y代入初始条件，，得()00=′y1,021−==cc，要求的解为。2++−=xxeyx参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-12题，【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》133，134，《考研数学三十六技》例11-8，例11-11，例11-12，《考研数学通用辅导讲义----微积分》例8.20，例8.21，例8.29，例8.30。()20:2≤≤=xxyL（11）已知曲线，则。∫Lxds()(),41222dxxdxyxds+=′+′=【解析与点评】由题意，,20,,2≤≤==xxyxx则()220222041418141xdxdxxxxdsL++=+=∫∫∫所以()6134132812032=+⋅x613＝。【答案】参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》114，《考研数学三十六技》例19-1《微积分通用辅导讲义》例13.1，例13.3(){}1,,222≤++=Ωzyxzyx（12）设，则＝。∫∫∫Ωdxdydzz2【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。（方法一）由轮换对称性，∫∫∫Ωdxdydzx2==∫∫∫