新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习

新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习1/11简单的线性规划问题知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－abx＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.例题讲解：已知实数x，y满足x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2.新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习2/11(1)求2x＋y的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值；(3)求yx的最大值和最小值.解：不等式组x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由x＋y－3＝0，x－y＋1＝0，得x＝1，y＝2，∴A(1，2).由x＝2，x－y＋1＝0，得x＝2，y＝3，∴M(2，3).由x＝2，x＋y－3＝0，得x＝2，y＝1，∴B(2，1)(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z.当直线y＝－2x＋z经过可行域内的点M(2，3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时zmax＝2×2＋3＝7.当直线y＝－2x＋z经过可行域内的点A(1，2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时zmin＝2×1＋2＝4.∴2x＋y的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l垂直于直线x＋y－3＝0，垂足为N，则直线l的方程为y＝x.由y＝x，x＋y－3＝0得x＝32，y＝32，∴N32，32.点N32，32在线段AB上，也在可行域内，此时可行域内的点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小.又|OM|＝13，|ON|＝92，即92≤x2＋y2≤13，∴x2＋y2的最小值为92，最大值为13.(3)∵yx表示可行域内一点(x，y)与定点O(0，0)连线的斜率，知kOB≤yx≤kOA，即12≤yx≤2，∴yx的最大值为2，最小值为12.新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习3/11题型一：求线性目标函数的最值问题1、已知x、y满足约束条件x－2y＋5≤0x＋3≥0y≤2，则z＝x＋2y的最大值是3解析画出可行域(如图阴影部分所示)．画直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M．解方程组x－2y＋5＝0y＝2，得点M(－1,2)．∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且zmax＝－1＋2×2＝3．2、已知变量x，y满足约束条件x＋2y≥1，x－y≤1，y－1≤0，则z＝x－2y的最大值为1解析作出不等式组x＋2y≥1，x－y≤1，y－1≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A(－1，1)，B(2，1)，C(1，0)，设z＝F(x，y)＝x－2y，将直线l：z＝x－2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值，∴z最大值＝F(1，0)＝13、设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为4.解析作出可行域，如图所示.联立x＋y－4＝0，x－3y＋4＝0，解得x＝2，y＝2.当目标函数z＝3x－y移到(2，2)时，z＝3x－y有最大值4.4、已知实数x，y满足约束条件x≥0，y≥0，x＋y≤2，则z＝2x＋4y的最大值为8.解析由不等式组表示的可行域知，目标函数z在点A(0，2)处取得最大值8.新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习4/115、设变量x，y满足约束条件3x＋y－6≥0，x－y－2≤0，y－3≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为－7解析可行域如图阴影部分(含边界).令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过D点时，z取得最小值.由y＝3，x－y－2＝0得D(5，3).∴zmin＝3－2×5＝－7.6、若x，y满足约束条件x≤2，y≤2，x＋y≥2，则z＝x＋2y的取值范围是[2，6]解析如图，作出可行域，作直线l：x＋2y＝0，将l向右上方平移，过点A(2，0)时，有最小值2，过点B(2，2)时，有最大值6，故z的取值范围为[2，6].7、设x，y满足2x＋y≥4，x－y≥－1，x－2y≤2，求x＋y的取值范围.解如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值.联立2x＋y＝4，x－2y＝2，解得A(2，0).z最小值＝2，z无最大值，∴x＋y∈[2，＋∞).新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习5/118、已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是[0，2]解析作出可行域，如图所示，因为OA→·OM→＝－x＋y.所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知过点P(1，1)时，z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点Q(0，2)时，z有最大值，zmax＝0＋2＝2，所以OA→·OM→的取值范围是[0，2].9、设x、y满足约束条件2x－y＋1≥0x－2y－1≤0x≤1，则z＝2x＋3y－5的最小值为__－10__解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．10、在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为__[－1,3]__．解析画出三角形区域如图，易知kAB＝231，令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，题型二：非线性目标函数的最值1、变量x，y满足条件x－y＋1≤0，y≤1，x＞－1，则(x－2)2＋y2的最小值为5解析作出不等式组对应的平面区域，设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小.新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习6/11由y＝1，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，即C(0，1)，此时z＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，2、已知x，y满足约束条件x－2≥0，x＋y≤6，2x－y≤6，则目标函数z＝4y＋4x＋2的最大值为5解析x，y满足约束条件x－2≥0，x＋y≤6，2x－y≤6表示的可行域如图：目标函数z＝4y＋4x＋2＝4×y＋1x＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA的斜率最大.由x＝2，x＋y＝6，可得A(2，4)，则目标函数z＝4y＋4x＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.3、实数x，y满足x≥1，y≥0，x－y≥0，则z＝y－1x的取值范围是[－1，1)解析作出可行域，如图所示，y－1x的几何意义是点(x，y)与点(0，1)连线l的斜率，当直线l过B(1，0)时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1，1).4、已知x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0，则x2＋y2的最小值是5解析令z＝x2＋y2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d＝x2＋y2，即可行域中的点到原点的距离，由图得dmin＝1＋4＝5，∴zmin＝d2＝5.新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习7/115、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0x＋y－2≥0y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是__2__解析本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．故|OM|的最小值为|－2|2＝2．6、设x，y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则2y＋2x＋1的最大值是()解析画出可行域如图阴影部分(含边界)，z＝2y＋2x＋1＝2y＋1x＋1，y＋1x＋1的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0，4)时，斜率最大，最大值为4－（－1）0－（－1）＝5，∴zmax＝2×5＝10.故选D.7、已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的范围.（3）z＝|x＋2y－4|的最大值解析作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3，1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝92.(2)z＝2y＋1x＋1＝2·y－－12x－－表示可行域内任一点(x，y)与定点Q－1，－12连线的斜率的2倍，因为kQA＝74，kQB＝38，故z的范围为34，72.（3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习8/11法一：z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5×5，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的5倍．由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0得点B的坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－40，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数z取得最大值，由x－y＋2＝0，2x－y－5＝0得点B的坐标为(7,9)，此时zmax＝21.题型三：由目标函数的最值求参数的值1、已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于5解析作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为z＝x－y，得y＝x－z，当z＝－1时，函数为y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由y＝x＋1，y＝2x－1，解得x＝2，y＝3，即A(2，3)，同时A也在直线x＋y＝m上，即m＝2＋3＝52、在平面直角坐标系中，不等式