【新高考复习】5 第5讲 第1课时　椭圆及其性质 　新题培优练

[基础题组练]1．焦点在x轴上的椭圆x2m＋y21＝1(m0)的焦距为4，则长轴长是()A．3B．6C．25D.5解析：选C.因为椭圆x2m＋y21＝1(m0)的焦点在x轴上，所以m＞1，则a2＝m，b2＝1，所以c＝a2－b2＝m－1，由题意可得2m－1＝4，即m＝5.所以a＝5.则椭圆的长轴长是25.故选C.2．(2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()A.x216＋y27＝1B.x216＋y27＝1或x27＋y216＝1C.x216＋y225＝1D.x216＋y225＝1或x225＋y216＝1解析：选B.因为a＝4，e＝34，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x216＋y27＝1或x27＋y216＝1.3．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．4B．6C．8D．12解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.4．已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝14|AF|，则该椭圆的离心率是()A.14B.34C.12D.32解析：选B.由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有c2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a.又|PF|＝14|AF|，即b2a＝14(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝34或e＝－1(舍去)．5．(2019·辽宁大连模拟)焦点在x轴上的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为()A.14B.13C.12D.23解析：选C.由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c·b＝12(2a＋2c)·b3，得a＝2c，即e＝ca＝12，故选C.6．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案：x225＋y216＝17．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则x236＋y220＝1，|F1M|2＝（x＋4）2＋y2＝64，x0，y0，得x＝3，y＝15，所以M的坐标为(3，15)．答案：(3，15)8．(2019·安徽滁州模拟)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝|3×0－4×b|32＋（－4）2≥45，所以1≤b2.又e＝ca＝1－b2a2＝1－b24，所以0e≤32.答案：0，329．已知F1，F2分别为椭圆x22＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.(1)求△ABF2的周长；(2)若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．解：(1)因为F1，F2分别为椭圆x22＋y2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF2和BF2.所以△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝42.(2)设直线l的方程为x＝my－1，由x＝my－1x2＋2y2＝2，得(m2＋2)y2－2my－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－1m2＋2，因为AF2⊥BF2，所以F2A→·F2B→＝0，所以F2A→·F2B→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1－2)(my2－2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝－m2－1m2＋2－2m×2mm2＋2＋4＝－m2＋7m2＋2＝0.所以m2＝7.所以△ABF2的面积S＝12×|F1F2|×（y1＋y2）2－4y1y2＝89.10．(2019·陕西西安模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若e＝32，求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且22e≤32，求k的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，ca＝32，所以a＝23.又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2)由x2a2＋y2b2＝1，y＝kx得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2.因为F2A→＝(x1－3，y1)，F2B→＝(x2－3，y2)，所以F2A→·F2B→＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即－a2（a2－9）（1＋k2）a2k2＋（a2－9）＋9＝0，将其整理为k2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22e≤32，所以23≤a32，12≤a218.所以k2≥18，即k∈－∞，－24∪24，＋∞.[综合题组练]1．(2019·唐山模拟)已知F1，F2为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为()A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1C.x28＋y22＝1D.x220＋y216＝1解析：选A.因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝12|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝12|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(32c，12c)，则S△F1AF2＝12|F1F2|·12c＝12c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为x26＋y22＝1，故选A.2．(2019·广东中山一模)设椭圆：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析：选B.如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且|OF||FA|＝|OM||AB|＝12，即ca－c＝12，解得e＝ca＝13.故选B.3．(2019·浙江温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A.5－12，1B.0，5－12C.3－12，1D.0，3－12解析：选B.设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以mc，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上，所以m2a2＋m2b2＝1c2a2＋c2b2＝e2＋e21－e2，整理得e4－3e2＋10，e23－52＝（5－1）24，所以0e5－12.故选B.4．(2019·四川南充模拟)已知椭圆x24＋y2b2＝1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，所以b2＝3，即b＝3.答案：35．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝ca＝22.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0，因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0x0.又x20＋2y20＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2y0x02＋(y0－2)2＝x20＋y20＋4y20x20＋4＝x20＋4－x202＋2（4－x20）x20＋4＝x202＋8x20＋4(0x20≤4)．因为x202＋8x20≥4(0x20≤4)，当且仅当x20＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为22.6.(综合型)如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F2(1，0)，点H2，2103在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左、右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，因为H2，2103在椭圆上，所以2a＝|HF1|＋|HF2|＝（2＋1）2＋21032＋（2－1）2＋21032＝6，所以a＝3，b＝22，故椭圆的方程是x29＋y28＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x219＋y218＝1，|PF2|＝（x1－1）2＋y21＝（x1－1）2＋81－x219＝x13－32，因为0x13，所以|PF2|＝3－13x1，在圆中，M是切点，所以|PM|＝|OP|2－|OM|2＝x21＋y21－8＝x21＋81－x219－8＝13x1，所以|PF2|＋|PM|＝3－13x1＋13x1＝3，同理：|QF2|＋|QM|＝3，所以|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，因此△PF2Q的周长是定值6.