2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.4　指数与指数函数

大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练内容索引ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实1.根式(1)如果xn＝a，那么叫做a的n次方根.知识梳理(2)式子na叫做，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(3)(na)n＝.当n为奇数时，nan＝，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.x根式aa2.分数指数幂正数的正分数指数幂，＝(a0，m，n∈N*，n1).mnanam正数的负分数指数幂，＝＝(a0，m，n∈N*，n1).mna1mna1nam0的正分数指数幂为，0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质aras＝；(ar)s＝；(ab)r＝(a0，b0，r，s∈Q).0ar＋sarsarbr4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域__________(0，＋∞)性质过定点，即x＝0时，y＝1当x0时，；当x0时，_______当x0时，；当x0时，______在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______(0,1)y10y1y10y1增函数减函数1.若函数y＝k·ax＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？提示k＝1，b＝0，a0且a≠1.2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？提示cd1ab0.微思考题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.()(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()×××√基础自测4－44题组二教材改编2.化简(x0，y0)得A.2x2yB.2xyC.4x2yD.－2x2y√416x8y43.函数f(x)＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点______.(1,3)4.已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是______.cba133514353432解析∵y＝35x是R上的减函数，∴350，即ab1，13351435又c＝320＝1，∴cba.3432题组三易错自纠5.若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝______.2解得a＝2.解析依题意a2－3＝1，a0且a≠1，6.函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝______.解析当a1时，f(x)＝ax为增函数，则a1＝2，∴a＝2满足题意，当0a1时，f(x)＝ax为减函数，则a－1＝2，∴a＝12满足题意，2或12综上有a＝2或12.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究1.计算：－－780＋43－π4＋＝______.题型一指数幂的运算自主演练238162[(2)]π＋8解析原式＝－1＋|3－π|＋233(2)162(2)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.2.计算：·＝____.(a0，b0)121431113324(0.1)()abab85解析原式＝＝85.33322233222410abab3.若＋＝3，则＝____.解析由＋＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，12x12x33222232xxxx1312x12x再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.＋＝＋＝(＋)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.32x32x312x312x12x12x∴＝13.33222232xxxx(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维升华例1(1)(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0B.ab0C.0abD.0ba解析如图，观察易知，ab0或0ba或a＝b＝0，故选ABD.题型二指数函数的图象及应用师生共研√√√(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0,2).(0,2)(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.思维升华跟踪训练1(1)(2021·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是解析方法一当x＝0时，y＝0，排除C.又f(x)为偶函数，排除B，D，故选A.方法二y＝1－e|x|的图象可由y＝e|x|关于x轴对称得到y＝－e|x|的图象，再向上平移一个单位长度得到，故选A.√(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.又f(0)＝a－ba0，∴－b0，即b0.√命题点1比较指数式的大小例2(2020·全国Ⅱ)若2x－2y3－x－3－y，则A.ln(y－x＋1)0B.ln(y－x＋1)0C.ln|x－y|0D.ln|x－y|0题型三指数函数的性质及应用多维探究√解析设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原式等价于2x－3－x2y－3－y，即f(x)f(y)，所以xy，即y－x0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0√解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)若≤14x－2，则函数y＝2x的值域是A.18，2B.18，2C.－∞，18D.[2，＋∞)212x＋√∴≤2－2x＋4，解析14x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，212x＋即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3,21]，即为18，2.(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为____.解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，代入不成立.故a的值为12.4x，x≥0，2a－x，x0，12命题点3指数函数性质的综合应用例4(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是___________.(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减.而y＝2t是增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].(2)不等式4x－2x＋1＋a0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是__________.(1，＋∞)解析原不等式可化为a－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1≤1，当t＝1时，ymax＝1，∴a1.(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.思维升华跟踪训练2(1)(多选)下列各式比较大小正确的是A.1.72.51.73B.C.1.70.30.93.1D.231243234232334√√√解析∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.51.73，故A不正确.＝，y＝12x为减函数，∴＝，故B正确；432431223124312432∵1.70.31，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.30.93.1，故C正确；y＝23x为减函数，∴，3423232323x又y＝在(0，＋∞)上递增，∴，23232334342323232334∴，故D正确.(2)设m，n∈R，则“mn”是“m－n1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12√解析12m－n1，即12m－n120，∴m－n0，∴mn.故“mn”是“12m－n1”的充要条件.(3)函数f(x)＝.若f(x)在(－∞，－3)上单调递减，则a的取值范围是____________.解析令t＝ax2－4x＋3，则y＝13t，∵y＝13t为减函数，∴t＝ax2－4x＋3在(－∞，－3)上单调递增，则a0，2a≥－3，解得a≤－23.24313axx－∞，－23KESHIJINGLIAN课时精练12345678910111213141516基础保分练1.若实数a0，则下列等式成立的是A.(－2)－2＝4B.2a－3＝12a3C.(－2)0＝－1D.＝1a414a√12345678910111213141516解析对于A，(－2)－2＝14，故A错误；对于B，2a－3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，＝1a，故D正确.414a2.已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是A.abcB.acbC.cabD.bca√12345678910111213141516解析y＝0.4x为减函数，∴0.40.60.40.20.40＝1，又20.21，即abc.123456789101112131415163.(2020·东北四校联考)已知函数f(x)＝则函数f(x)是A.偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B.偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析作出函数