【新高考复习】专题08 立体几何-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

易错点1对空间几何体的结构认识不准确致错有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是.【错解】P【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案.【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.【参考答案】O1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.1．一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为_________(只填写序号).【答案】①②③【解析】当截面与正方体的某一面平行时,可得①,将截面旋转可得②,继续旋转,过正方体两顶点时可得③,即正方体的对角面,不可能得④.易错点2不能正确画出三视图或还原几何体而致错一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.【参考答案】D1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．2．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.2．已知三棱锥的俯视图与侧视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为【答案】C【解析】通过对比选项可知，对于选项A,D，则俯视图应有一条中线，故排除A,D；从俯视图可以观察得到该几何体的一条侧棱在正视图中应该看不见，为虚线，故排除B.所以选C.易错点3空间几何体的直观图与原图面积之间的关系如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为A．3B．322C．6D．32【错解】B【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为13223sin45=22.实际上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解.【试题解析】原平面图形如图，即Rt△OAB，其中OA=O′A′=3，OB=2O′B′=4，故原平面图形的面积为134=62，选C.【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答关键是牢记原图形与直观图的面积比为22SS．【参考答案】C1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”y坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”xz平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变.2．原图形与直观图的面积比为22SS，即原图面积是直观图面积的22倍，直观图面积是原图面积的12=422倍.3．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为A．22B．32C．23D．3【答案】A【解析】因为OA=6，CB=2，所以OD=2.又因为∠COD=45°，所以CD=2.梯形的直观图如图，则C′D′=1.所以梯形的高C′E′=22.本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．易错点4空间几何体的表面积或体积计算不全致错一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21+3B．18+3C．21D．18【错解】B或C或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【试题解析】由三视图可知原几何体如图所示，是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24，两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点，侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形，其侧面面积的和为3，三棱锥的底面是边长为2的正三角形，其底面面积的和为3，故所求几何体的表面积为24−3+3=21+3.故选A.【参考答案】A1．柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.2．柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．4．如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2cm，下底BC＝10cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，则所得的旋转体的体积是A．246πB．248πC．249πD．250π【答案】B【解析】过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，所得旋转体是以CF为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A为顶点，以DE为底面半径的圆锥的组合体．由于AD＝2cm，BC＝10cm，∠ABC＝60°，在Rt△BCF中，BF＝5cm，FC＝53cm.由AD∥BC得，∠DAE＝∠ABC＝60°.在Rt△ADE中，DE＝3cm，AE＝1cm.又在等腰梯形ABCD中可求得AB＝8cm，AF＝AB－BF＝8－5＝3(cm)，EF＝AE＋AF＝4cm.所以旋转后所得几何体的体积为V＝13π·BF·FC2＋13π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－13π·AE·DE2＝13π×5×(53)2＋13π×4×[(3)2＋(53)2＋3×53]－13π×1×(3)2＝248π(cm3)，即所得的旋转体的体积为248πcm3.本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为1cm的圆锥的体积而错选C.易错点5问题考虑不全面致错已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为【错解】2如图，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，221068OC.在Rt△DOF中，221086OD.所以CD=OC−OD=8−6=2，故这两个截面圆间的距离为【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【试题解析】如上图，设球的大圆为圆O，C，D为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，22221061082CDOCOD；当两截面在球心两侧时，222210610814CDOCOD.综上可知，两截面圆间的距离为2或14.【参考答案】2或141．球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.（2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：22dRr.2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.5．如图所示，在长方体中，14cm,2cm,3cm,ABADAA则在长方体表面上连接1AC、两点的所有曲线长度的最小值为__________．【答案】41【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形11AADD和四边形11DDCC在同一平面内时，最小距离为四边形11AACC的对角线，长度是223(42)45；当四边形11AABB和四边形11BBCC在同一平面内时，最小距离为四边形11AACC的对角线，长度是223(42)45；四边形ABCD和四边形11CDDC在同一平面内时，最小距离为四边形11ABCD的对角线，长度是224(23)41，所以最小距离是41．将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连接两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得