【新高考复习】专题14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入-备战2019年高考数学（理）之

专题14算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入易错点1忽略判断框内的条件阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为.【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546.【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S＋29＋9.【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为1067.【参考答案】1067【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数.1.注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.2.注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.1．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A．56B．54C．36D．64【答案】B【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4；c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7；c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12；c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.c＞20,此时结束循环，S=54.故答案为B.【名师点睛】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出程序结束后输出的S值．(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求程序框图的输入和输出结果，主要方法是模拟运行，认真计算.易错点2误将类比所得结论作为推理依据已知111222,,,,,abcabc都是非零实数,不等式221112220,0axbxcaxbxc的解集分别为M,N,则“111222abcabc”是“M=N”成立的条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种).【错解】由111222abcabc知两个不等式同解,即“111222abcabc”是“M=N”成立的充要条件.【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.【试题解析】当111222abcabc时，可取1112221,1abcabc,则,MNR,故111222=/abcMNabc;当MN时，可取1112221,1,2,3abcabc，则111222abcabc，即111222=/abcMNabc.综上知“111222abcabc”是“M=N”成立的既不充分又不必要条件.【参考答案】既不充分又不必要条件类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.2．下面给出了关于向量的三种类比推理：①由数可以比较大小类比得向量可以比较大小；②由平面向量a的性质22aa类比得到空间向量a的性质22aa；③由向量相等的传递性ab，bcac可类比得到向量平行的传递性：∥ab，∥∥bcac.其中正确的是A．②③B．②C．①②③D．③【答案】B【解析】向量既有大小又有方向，所以向量不能比大小，①错；当b为零向量，a与c为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，③错误；只有②正确，故选B．【名师点睛】本题主要考查的是向量和类比推理，向量是有方向又有长度的量，长度可以比较大小，向量不可以比较大小，规定零向量是与任意向量共线（平行）的，所以考虑平行时要特别注意零向量.对三个选项逐个进行分析即可得到结论.易错点3小前提错误判断函数||2xy的单调性．【错解】指数函数(1)xyaa是增函数，而||2xy是指数函数，所以函数||2xy是增函数．【错因分析】错解中的小前提“||2xy是指数函数”是错误的，函数||2xy不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．【试题解析】对于指数函数xya，当1a时是增函数，当01a时是减函数，故当[0,)x时，||22xxy是增函数；当(,0]x时，||12()2xxy是减函数．演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.3．因为对数函数log01ayxaa且是增函数，而12logyx是对数函数，所以12logyx是增函数，上面的推理错误的是A．大前提B．小前提C．推理形式D．以上都是【答案】A【解析】由于三段论的大前提“对数函数log01ayxaa且是增函数”是错误的，只有当a1时，对数函数log01ayxaa且才是增函数.故答案为A.【名师点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.易错点4反证法误区——推理中未用到结论的反设已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,用反证法证明:关于x的方程22250xxp无实数根.【错解】假设方程22250xxp有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0，解得122p，而关于x的方程22250xxp的根的判别式24(4)p.∵122p,∴2144p，∴,即关于x的方程22250xxp无实数根.【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.【试题解析】假设方程22250xxp有实数根，则该方程的根的判别式24(4)0p，解得2p或2p①,而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0，解得122p②.数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程22250xxp无实数根.利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立.4．利用反证法证明：“若220xy，则0xy”时，假设为A．x，y都不为0B．xy且x，y都不为0C．xy且x，y不都为0D．x，y不都为0【答案】D【解析】原命题的结论是,xy都为零，反证时，假设为,xy不都为零.故选D.易错点5对复数的相关概念不理解出错设复数a＋bi（a，b∈R）的模为3，则（a＋bi）（a－bi）=.【错解】复数a＋bi的模为22=3ab，则a2＋b2=3.又（a＋bi）（a－bi）=a2－b2i2=a2＋b2=3，故（a＋bi）（a－bi）=3.【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z=a＋bi的模|z|=22ab，故应为a2＋b2=3.【试题分析】复数a＋bi（a，b∈R）的模为22=3ab，则a2＋b2=3，则（a＋bi）（a－bi）=a2－（bi）2=a2－b2i2=a2＋b2=3.【参考答案】3复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.3.两个虚数不能比较大小.4.利用复数相等a＋bi=c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.5.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2∈C，2212+zz=0，就不能推出z1=z2=0；z20在复数范围内有可能成立.5．复数z满足2i36iz（i为虚数单位），则复数z的虚部为A．3B．3iC．3iD．3【答案】D【解析】由题意可得：36i2i36i15i3i2i2i2i5z，据此可知，复数z的虚部为3.本题选择D选项.【名师点睛】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．易错点6数学归纳法的应用误区——归纳假设只设不用用数学归纳法证明：*1147(32)(31)()2nnnnN.【错解】（1）当1n时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.（2）假设当*()nkkN时等式成立,即1147(32)(31)2kkk.那么，当1nk时,需证1147(32)[3(1)2](1)(32)2kkkk(*).由于等式左边是一个以1为首项,3为公差的等差数列的前k+1项的和,所以左边=1(1)(131)2kk1(1)(32)2kk=右边,所以(*)式成立.即1nk时等式成立,根据（1）和（2）,可知等式对任何*nN都成立.【错因分析】错解在证明当1nk等式成立时,没有用到归纳假设“当*()nkkN时等式成立”,故不符合数学归纳法证题的要求.【试题解析】（1）当1n时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.（2）假设当*()nkkN时等式成立,即1147(32)(31)2kkk.那么，当1nk时,1147(32)[3(1)2](31)(31)2kkkkk2111(352)(1)(32)(1)[3(1)1]222kkkkkk.即当1nk时等式成立.根据（1）和（2）,可知等式对任何*nN都成立.判断用数学归纳法证明数学问题是否正确,关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的.6．已知正项数列na中，121a，且*1111,.nnnnaanaaN（1）分别计算出234,,aaa的值，然后猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）23432,23,52aaa；1nann；（2）见解析.【解析】（1）令1,n得21211122aaaa，化简得2223a，解得232a或232.a20,a232a.令2,n得32321123,aaaa化简得2334a，解得323a或323.a30,a323.a令3,n得4343114,aaaa化简得2425a，解得452a或452.a40,a452.a猜想1.nann（*）.（2）①当1n时，12121a，（*）式成立；②假设*1,nkkkN时（*）式成立，即1kakk，那么当1nk时，11111121.kkkkaakkkkkaa化简得2112,kakk10,ka121,kakk所以当1nk时，（*）式也成立.综上：由①②得当*nN时，1.nann【名师点睛】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳法.（1）逐个计算出234,,aaa的值，再通过观察可猜1nann.（2）先检验n=1满足，再假设*1,nkkkN时（*）式成立，即1kakk，下证1nk时121,kakk即可证明.一、算法初步1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.2.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；