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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 强化训练2 函数与方程中的综合问题
大一轮复习讲义第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ1.下列函数中,不能用二分法求函数零点的有A.f(x)=3x-1B.f(x)=x2-2x+1C.f(x)=log4xD.f(x)=ex-212345678910111213141516基础保分练√解析f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.A.(-2,1)内B.52,4内C.1,74内D.74,52内2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间(-2,4)上的零点必定在区间12345678910111213141516√且f-2+42=f(1)=-40,∴零点在(1,4)内.解析∵f(-2)=-280,f(4)=380,12345678910111213141516又f1+42=f52=3780,∴零点在区间1,52内.又f1+522=f740,∴零点在区间74,52内.123456789101112131415163.已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx,若有f(m)=g(n),则n的取值范围是A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)√解析由f(x)=ex0,f(m)=g(n),则g(n)=lnn0,∴n1.4.若函数f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,则a的取值范围是A.(0,3)B.[0,3]C.(-3,0)D.(-∞,0)∪(3,+∞)12345678910111213141516√解析∵f(x)=-x2+ax+4有两个零点,一个大于2,另一个小于-1,∴f20,f-10,即-22+2a+40,--12-a+40,解得0a3.123456789101112131415165.已知函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx的零点为b,则下列不等式中成立的是A.f(a)f(a+b)f(b)B.f(a+b)f(a)f(b)C.f(a)f(b)f(a+b)D.f(b)f(a+b)f(a)解析由题意可知函数f(x)在R上单调递增,f(0)=e0+0-2=-10,f(1)=e1+1-2=e-10,∴函数f(x)的零点a∈(0,1),又函数g(x)的零点b=1,∴0aba+b,∴f(a)f(b)f(a+b).√123456789101112131415166.(多选)设函数f(x)=-ln|ax|(a>0),若f(x)有4个零点,则a的可能取值有A.1B.2C.3D.4√ax22e√√解析①当a=1时,f(x)=x22e-ln|x|,函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x22e-lnx,f′(x)=xe-1x=x-ex+eex,f(x)在(0,e)上递减,在(e,+∞)上递增,f(x)min=f(e)=0,x>0时,有一个交点,所以f(x)共有2个零点,故不成立,②当a=2时,当x>0时,f(x)=x2e-ln2x,f′(x)=2xe-1x=2x2-eex=2x-e2x+e2ex,12345678910111213141516f(x)在0,e2上递减,在e2,+∞上递增,f(x)min=fe2=12(1-ln2e)<0有两个交点,所以共有4个零点,故成立,同理可得a=3,a=4时成立.1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题意得2x+x-2=0,设f(x)=2x+x-2,所以f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+1-2=1,所以f(0)f(1)0,又函数f(x)是R上的连续函数,所以由零点存在性定理,得方程2x+x=2的解所在的区间是(0,1).故k=0.7.方程2x+x=2的解所在的区间是(k,k+1),k∈Z,则k=________.0123456789101112131415168.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是____________.解析方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,令t=3x0,则方程t2+(4+a)t+4=0有正根,又两根的积为4,∴Δ=4+a2-16≥0,-4+a0,解得a≤-8.(-∞,-8]123456789101112131415169.已知函数f(x)=|x+1|,x≤0,lnx+1,x0,若方程f(x)=m(m∈R)恰有三个不同的实数解a,b,c(abc),则(a+b)c的取值范围是____________.-2,-2e所以1ec≤1,12345678910111213141516解析画出f(x)的图象.所以方程f(x)=m(m∈R)恰有三个不同的实数解a,b,c(abc),可知m的取值范围为(0,1],由题意可知a+b=-2,0lnc+1≤1,所以-2≤(a+b)c-2e.10.已知函数f(x)=若方程f(x)=-x-a有两个不同的实数根,则实数a的取值范围为_____________.123456789101112131415162x-1,x≥0,fx+1,x0,(-1,+∞)12345678910111213141516解析当x≥0时,f(x)=2x-1,当-1≤x0时,f(x)=2x+1-1,当-2≤x-1时,f(x)=2x+2-1,画出函数f(x)的图象,如图:因为方程f(x)=-x-a有两个不同的实根,所以函数f(x)和函数y=-x-a的图象有两个不同的交点.由直线y=-x-a过点(0,1),得a=-1;由直线y=-x-a过点(0,0),得a=0;由直线y=-x-a过点(-1,0),得a=1;而函数f(x)不过点(0,1),(-1,1),(-2,1),因此当a-1时,函数f(x)和函数y=-x-a的图象有两个不同的交点,即方程f(x)=-x-a有两个不同实根.1234567891011121314151611.求证:方程3x+4x=5x只有一个实数解.12345678910111213141516证明要证方程3x+4x=5x只有一个实数解,即证35x+45x=1只有一个实数解,即证f(x)=35x+45x-1有唯一零点.∵f(0)=350+450-1=10,f(3)=353+453-1=-341250,∴f(0)f(3)0,∴f(x)在(0,3)上有零点.又f(x)在R上是减函数,12345678910111213141516∴f(x)在(0,3)上有唯一零点,即f(x)在R上有唯一零点,即方程3x+4x=5x只有一个实数解.1234567891011121314151612.设函数f(x)=log2(x+m)(m∈R).(1)当m=2时,解不等式f1x1;解由题意,知log21x+21,则1x+20,1x+22,解得x-12或x0,x0,故x-12,所以原不等式的解集为-∞,-12.12345678910111213141516(2)若m=10,且关于x的方程f(x)=12x+λ在[-2,6]上有实数解,求实数λ的取值范围.解log2(x+10)=12x+λ,即λ=log2(x+10)-12x在[-2,6]上有实数解,设g(x)=log2(x+10)-12x,因为g(x)在[-2,6]上单调递增,所以当x=-2时,λmin=1;当x=6时,λmax=318.所以实数λ的取值范围是1,318.13.四个函数f(x)=10x,g(x)=110x,h(x)=lgx,φ(x)=,方程f(x)=φ(x),g(x)=φ(x),g(x)=h(x)的实数根分别为a,b,c,则A.abcB.cbaC.cabD.bac12345678910111213141516技能提升练√110logx12345678910111213141516解析如图,画出四个函数的图象,由图可知,abc.14.函数f(x)=12|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和为A.4B.6C.8D.1012345678910111213141516√12345678910111213141516h(2-x)=-2cos(2π-πx)=-2cosπx=h(x),解析令f(x)=0,可得12|x-1|=-2cosπx,令g(x)=12|x-1|,h(x)=-2cosπx,则g(x)=2x-1,-2≤x≤1,12x-1,1x≤4,∵g(2-x)=12|2-x-1|=12|1-x|=12|x-1|=g(x),12345678910111213141516∴函数y=g(x)和y=h(x)的图象都关于直线x=1对称,作出这两个函数在区间[-2,4]上的图象如图所示.由图象可知,函数y=g(x)和y=h(x)在区间[-2,4]上的图象共有6个交点,有3对关于直线x=1对称,因此,函数f(x)=12|x-1|+2cosπx(-2≤x≤4)的所有零点之和为3×2=6.12345678910111213141516拓展冲刺练15.已知函数f(x)=则方程f(f(x))=1根的个数为A.3B.5C.7D.9√2x-1,x≤1,|lnx-1|,x1,12345678910111213141516即ln(u-1)=±1,解得u2=1+1e,u3=1+e.解析令u=f(x),先解方程f(u)=1.(1)当u≤1时,f(u)=2u-1=1,得u1=1;(2)当u1时,f(u)=|ln(u-1)|=1,如图所示,直线u=1,u=1+1e,u=1+e与函数u=f(x)的交点个数分别为3,2,2,所以方程f(f(x))=1的根的个数为3+2+2=7.16.已知函数f(x)=x2+ax+,g(x)=-lnx.(1)若∀x∈R,f(x)≥0,求实数a的取值范围;1234567891011121314151614解根据题意知x2+ax+14≥0对任意实数x恒成立,所以Δ=a2-4×14≤0,解得-1≤a≤1.(2)用min{m,n}表示m,n中的较小者.设h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有三个零点,求实数a的取值范围.1234567891011121314151612345678910111213141516解当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx0,所以h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)0,所以h(x)在(1,+∞)上无零点;所以h(x)在(0,1]上有三个零点,f(1)=54+a,g(1)=0,当f(1)≥g(1)时,54+a≥0,得a≥-54,所以h(1)=g(1)=0,所以1是h(x)的一个零点;当f(1)g(1)时,a-54,所以h(1)=f(1)0,所以1不是h(x)的一个零点;当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx0,由题意可知,1是h(x)的一个零点,且f(x)=x2+ax+14在(0,1)上有两个零点,所以a≥-54,且Δ=a2-4×1×140,0-a21,f0=140
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