【新高考复习】2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 新题培优练

[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－12b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D.因为a－12b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝12b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.2.已知向量AC→，AD→和AB→在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD→＝(1，0)，AC→＝(2，－2)，AB→＝(1，2)．因为AC→＝λAB→＋μAD→，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A.3．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若AF→＝mAB→＋nAD→，则()A．m＝34，n＝12B．m＝14，n＝34C．m＝12，n＝12D．m＝12，n＝34解析：选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，则AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝12AE→＋12AB→，故AF→＝1212AB→＋AD→＋12AB→，＝34AB→＋12AD→.由于AF→＝mAB→＋nAD→，所以m＝34，n＝12.故选A.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，4)B．(4，＋∞)C．(－∞，4)∪(4，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝π4，|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ＝()A．22B.2C．2D．42解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又因为OC→＝λOA→＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2，4)，AC→＝(1，3)，则BD→＝________．解析：由题意得BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)7．(2019·昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量OA→＝(1，2)，OB→＝(－2，－1)，若2AP→＝AB→，则|OP→|＝________.解析：设P点坐标为(x，y)，AB→＝OB→－OA→＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP→＝(x－1，y－2)，由2AP→＝AB→得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以2x－2＝－32y－4＝－3，解得x＝－12y＝12，故|OP→|＝14＋14＝22.答案：228．已知A(－3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝λOA→＋OB→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA→＝(－3，0)，OB→＝(0，3)，则OC→＝(－3λ，3)，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1，答案：19．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，CD→＝xOA→＋yBC→，求x＋y的值．解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C12，－32.所以CD→＝－12，1＋32，BC→＝－12，－32.又CD→＝xOA→＋yBC→，所以－12，1＋32＝x(－1，0)＋y－12，－32.所以－12＝－x－12y1＋32＝－32y，解之得x＝3＋33y＝－3＋233，所以x＋y＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以－x＋y＝2，x＋2y＝4，即x＝0，y＝2.所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2．(创新型)已知P＝{}a|a＝（1，0）＋m（0，1），m∈R，Q＝{}b|b＝（1，1）＋n（－1，1），n∈R是两个向量集合，则P∩Q等于()A.{}（1，1）B.{}（－1，1）C.{}（1，0）D.{}（0，1）解析：选A.设a＝(x，y)，则P＝{(x，y)|x＝1，y＝m，m∈R}，所以集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{}（x，y）|x＝1，y∈R，Q＝{}（x，y）|x＋y－2＝0，所以P∩Q＝{}（1，1）.故选A.3．(应用型)已知非零不共线向量OA→，OB→，若2OP→＝xOA→＋yOB→，且PA→＝λAB→(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0解析：选A.由PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，所以x＝2＋2λ，y＝－2λ，消去λ得x＋y－2＝0，故选A.4.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n的取值范围是________．解析：由点D是圆O外一点，可设BD→＝λBA→(λ＞1)，则OD→＝OB→＋λBA→＝λOA→＋(1－λ)OB→.又C，O，D三点共线，令OD→＝－μOC→(μ＞1)，则OC→＝－λμOA→－1－λμ·OB→(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－λμ，n＝－1－λμ，则m＋n＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1，1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tanα＝7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，求m＋n的值．解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tanα＝7，α∈0，π2，得sinα＝752，cosα＝152，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝|OC→|cosα＝2×152＝15，yC＝|OC→|sinα＝2×752＝75，即C15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则xB＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，yB＝|OB→|sin(α＋45°)＝45，即B－35，45，由OC→＝mOA→＋nOB→，可得15＝m－35n，75＝45n，解得m＝54，n＝74，所以m＋n＝54＋74＝3.法二：由tanα＝7，α∈0，π2，得sinα＝752，cosα＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB→·OC→＝1×2×22＝1，OA→·OC→＝1×2×152＝15，OA→·OB→＝1×1×－35＝－35，由OC→＝mOA→＋nOB→，得OC→·OA→＝mOA→2＋nOB→·OA→，即15＝m－35n①，同理可得OC→·OB→＝mOA→·OB→＋nOB→2，即1＝－35m＋n②，联立①②，解得m＝54，n＝74，所以m＋n＝54＋74＝3.6．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．(1)求AD的长度；(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足AE→＝xAB→，AF→＝yAC→，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DBDC＝ABAC＝2，所以BDBC＝23，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→，所以AD→2＝19AB→2＋49AB→·AC→＋49AC→2＝49－49＋49＝49，所以AD＝23.(2)因为AE→＝xAB→，AF→＝yAC→，所以AD→＝13AB→＋23AC→＝13xAE→＋23yAF→，因为E，D，F三点共线，所以13x＋23y＝1，所以1x＋2y＝3.