【新高考复习】3 第3讲　平面向量的数量积及应用举例　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，所以|BC→|＝1＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B.设a与b的夹角为α，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2，所以|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，所以cosα＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，AB→·AD→的值为()A．10B．11C．12D．13解析：选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以AB→·AD→＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．(2019·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足AQ→＝2QB→，则QC→·QD→＝()A．－109B.109C．－139D.139解析：选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)．又AQ→＝2QB→，所以Q43，0，所以QC→＝－13，1，QD→＝－43，1，所以QC→·QD→＝49＋1＝139.故选D.5．如图，AB是半圆O的直径，P是AB︵上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM→·PN→等于()A．13B．7C．5D．3解析：选C.连接AP，BP，则PM→＝PA→＋AM→，PN→＝PB→＋BN→＝PB→－AM→，所以PM→·PN→＝(PA→＋AM→)·(PB→－AM→)＝PA→·PB→－PA→·AM→＋AM→·PB→－|AM→|2＝－PA→·AM→＋AM→·PB→－|AM→|2＝AM→·AB→－|AM→|2＝1×6－1＝5.6．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2＝2a·b，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a·b|a|2＝12.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π3.答案：π37．已知点M，N满足|MC→|＝|NC→|＝3，且|CM→＋CN→|＝25，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得|CM→＋CN→|2＝|CM→|2＋|CN→|2＋2CM→·CN→＝18＋2CM→·CN→＝20，则CM→·CN→＝1，故M，N两点间的距离为|MN→|＝|CN→－CM→|＝|CN→|2＋|CM→|2－2CN→·CM→＝9＋9－2＝4.答案：48．(2019·石家庄质量检测(一))已知AB→与AC→的夹角为90°，|AB→|＝2，|AC→|＝1，AM→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，且AM→·BC→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB→＝(0，2)，AC→＝(1，0)，BC→＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM→＝(x，y)，所以AM→·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM→＝λAB→＋μAC→，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以λμ＝12yx＝14.答案：149．已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R.(1)若m⊥n，求角α；(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝12，可得α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z.(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝34，即有cos2α＝1－2sin2α＝1－2×916＝－18.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB→＝(3，5)，AC→＝(－1，1)，则AB→＋AC→＝(2，6)，AB→－AC→＝(4，4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)法一：由题设知：OC→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t，5＋t)．由(AB→－tOC→)·OC→＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－115.法二：AB→·OC→＝tOC→2，AB→＝(3，5)，t＝AB→·OC→|OC→|2＝－115.[综合题组练]1．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD→＝32AB→，则CD→·CB→＝()A．－18B．－63C．18D．63解析：选C.法一：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA→·CB→＝0.CD→·CB→＝(CA→＋AD→)·CB→＝CA→·CB→＋32AB→·CB→＝32(CB→－CA→)·CB→＝32CB→2＝18，故选C.法二：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD→＝32AB→，所以D(－1，33)，则CD→·CB→＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.2．(2019·南宁模拟)已知O是△ABC内一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，AB→·AC→＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.33B.3C.32D.23解析：选A.因为OA→＋OB→＋OC→＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝13S△ABC.因为AB→·AC→＝2，所以|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以|AB→|·|AC→|＝4.又S△ABC＝12|AB→|·|AC→|sin∠BAC＝3，所以△OBC的面积为33，故选A.3．(应用型)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1解析：选B.如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－32)2－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值为－32.4．(应用型)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM→·AN→的最大值为________．解析：由平面向量的数量积的几何意义知，AM→·AN→等于|AM→|与AN→在AM→方向上的投影之积，所以(AM→·AN→)max＝AM→·AC→＝12AB→＋AD→·(AB→＋AD→)＝12AB→2＋AD→2＋32AB→·AD→＝9.答案：95．(创新型)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23.6．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosB，2cos2C2－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→＝DB→，|CD→|＝7，c＝23，求△ABC的面积．解：(1)因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，所以cosC＝12，而C∈(0，π)，所以∠C＝π3.(2)由AD→＝DB→知，CD→－CA→＝CB→－CD→，所以2CD→＝CA→＋CB→，两边平方得4|CD→|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②由①②得ab＝8，所以S△ABC＝12absin∠ACB＝23.