2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第4章 §4.3 第2课时　简单的三角恒等变换

大一轮复习讲义第四章§4.3简单的三角恒等变换内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练ZHUGANSHULIJICHULUOSHI主干梳理基础落实知识梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝.(2)公式C2α：cos2α＝＝＝.(3)公式T2α：tan2α＝.2.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝,1＋cosα＝.(升幂公式)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α2sin2α22cos2α2(2)1±sinα＝.(升幂公式)(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)(4)asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝，cosφ＝.(辅助角公式)sinα2±cosα221－cos2α21＋cos2α21－cos2α1＋cos2αa2＋b2sin(α＋φ)ba2＋b2aa2＋b21.思考三角恒等变换的基本技巧.提示(1)变换函数名称：使用诱导公式.(2)升幂、降幂：使用倍角公式.(3)常数代换：如1＝sin2α＋cos2α＝.(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式.微思考tanπ42.进行化简求值时一般要遵循什么原则？提示异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α为第四象限角，则sin2α0.()(2)∀α∈R,1＋sinα＝.()(3)∀α∈R,2cos2α＋cos2α－1＝0.()(4)∃α∈R，tan2α＝2tanα.()√××基础自测sinα2＋cosα22√题组二教材改编2.sin15°cos15°等于A.－14B.14C.－12D.12√解析sin15°cos15°＝12sin30°＝14.3.已知sinα－cosα＝15，0≤α≤π，则cos2α等于A.－2425B.2425C.－725D.725√解析∵sinα－cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1,0≤α≤π，∴sinα＝45，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2452＝－725.16所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)24.已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝.解析方法一cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.方法二cosα＋π4＝22cosα－22sinα，＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.题组三易错自纠5.计算：4tanπ123tan2π12－3等于A.233B.－233C.239D.－239解析原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.√6.(2020·泸州模拟)若tanα＝12，则cos2α等于A.－45B.－35C.45D.35√解析∵tanα＝12，∴cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－141＋14＝35.TIXINGTUPOHEXINTANJIU题型突破核心探究题型一三角函数式的化简自主演练1.(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα等于A.53B.23C.13D.59√解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去).解析由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，又因为α∈(0，π)，所以sinα0，所以sinα＝1－cos2α＝1－－232＝53.2.(2020·江苏改编)已知sin2π4＋α＝23，则sin2α的值是A.－13B.13C.－23D.23√解析∵sin2π4＋α＝23，∴1－cosπ2＋2α2＝23，即1＋sin2α2＝23，∴sin2α＝13.3.(2019·全国Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα等于A.15B.55C.33D.255√解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.4.21＋sin4＋2＋2cos4等于A.2cos2B.2sin2C.4sin2＋2cos2D.2sin2＋4cos2√解析21＋sin4＋2＋2cos4＝2sin22＋2sin2cos2＋cos22＋2＋22cos22－1＝2sin2＋cos22＋4cos22＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵π22π，∴cos20，∵sin2＋cos2＝2sin2＋π4，02＋π4π，∴sin2＋cos20，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.思维升华题型二三角函数的求值多维探究命题点1给角求值例1(1)cos20°·cos40°·cos100°＝.－18解析cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.解析原式＝cos220°－sin220°cos25°cos20°－sin20°(2)cos40°cos25°1－sin40°的值为A.1B.3C.2D.2√＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.命题点2给值求值4－3310例2(1)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝.解析由题意可得cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝10100，θ∈0，π2，所以0θπ4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.(2)若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cos2α的值为.0解析∵tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，∴tanα＝3或tanα＝13(舍)，则sin2α＋π4＋2cos2α＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＋2·1＋cos2α2＝22sin2α＋2cos2α＋22＝22(2sinαcosα)＋2(cos2α－sin2α)＋22＝22·2sinαcosαsin2α＋cos2α＋2·cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＋22＝22·2tanαtan2α＋1＋2·1－tan2αtan2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.命题点3给值求角17例3已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝，2α－β＝.π3解析因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.又cos2α0，所以02απ2，又β为锐角，所以－π22α－βπ2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.因为α为锐角，所以02απ.(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.思维升华跟踪训练1(1)cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于A.62B.32C.54D.1＋34√解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.(2)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝.268解析∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈0，π2，sinα＋cosα0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝24cosα＝268.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为.－3π4解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.∴02απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴2α－β＝－3π4.∴π2βπ，－π2α－β0，例4已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；题型三三角恒等变换的综合应用师生共研解因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝π2.令2kπ＋π2≤4x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ2＋π16≤x≤kπ2＋5π16，k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为kπ2＋π16，kπ2＋5π16，k∈Z.(2)若α∈(0，π)，且fα4－π8＝22，求tanα＋π3的值.解因为fα4－π8＝22，所以sinα－π4＝1.所以－π4α－π43π4，所以α－π4＝π2，因此tanα＋π3＝tan3π4＋tanπ31－tan3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－3.又α∈(0，π)，故α＝3π4，思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.跟踪训练2已知函数f(x)＝24sinπ4－x＋64·cosπ4－x.(1)求函数f(x)在区间π4，3π2上的最值；解由题意得f(x)＝24·sinπ4－x＋64cosπ4－x