【新高考复习】1 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数　新题培优练

[基础题组练]1．若角α的终边经过点P(1，3)，则cosα＋tanα的值为()A.1＋232B.－1＋32C.1＋32D.－1＋232解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，3)，则x＝1，y＝3，r＝|OP|＝2，所以cosα＝xr＝12，tanα＝yx＝3，那么cosα＋tanα＝1＋232，故选A.2．下列结论中错误的是()A．若0απ2，则sinαtanαB．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝45D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度解析：选C.选项A，若0απ2，则sinαtanα＝sinαcosα，A正确；选项B，若α是第二象限角，即α∈2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，则α2∈kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z，为第一象限或第三象限角，B正确；选项C，若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝4k9k2＋16k2＝4k5|k|，不一定等于45，C不正确；选项D，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D正确．故选C.3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z解析：选C.因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.4．下列选项中正确的是()A．sin300°0B．cos(－305°)0C．tan－22π30D．sin100解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－22π3＝－8π＋2π3，所以－22π3是第二象限角；因为3π107π2，所以10是第三象限角．故sin300°0，cos(－305°)0，tan－22π30，sin100，故D正确．5．集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，结合图象知选C.6．已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x的可能区间是()A.π2，πB.－π4，3π4C.－π2，π2D.－3π4，π4解析：选D.由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx0，即sinxcosx，所以－3π4＋2kπxπ4＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是－3π4，π4.7．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值为()A．1B．－1C．3D．－3解析：选B.由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ0，cosθ0，tanθ0.所以y＝－1＋1－1＝－1.8．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°θ360°，则θ＝________．解析：因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0απ)的弧度数为________．解析：设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3.答案：310．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r.则(R－r)sin60°＝r，即R＝1＋233r.又S扇＝12|α|R2＝12×2π3×R2＝π3R2＝7＋439πr2，所以S扇πr2＝7＋439.答案：(7＋43)∶911．已知角α的终边上一点P(5a，－12a)(a∈R且a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．解：角α的终边上一点P(5a，－12a)，即x＝5a，y＝－12a，所以r＝x2＋y2＝13|a|，当a＞0时，则sinα＝yr＝－1213，cosα＝xr＝513，tanα＝yx＝－125；当a＜0时，则sinα＝yr＝1213，cosα＝xr＝－513，tanα＝yx＝－125.12．已知1|sinα|＝－1sinα，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M35，m，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．解：(1)由1|sinα|＝－1sinα，得sinα0，由lg(cosα)有意义，可知cosα0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±45.又α为第四象限角，故m0，从而m＝－45，sinα＝yr＝m|OM|＝－451＝－45.[综合题组练]1．已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是()A．若α，β是第一象限的角，则cosαcosβB．若α，β是第二象限的角，则tanαtanβC．若α，β是第三象限的角，则cosαcosβD．若α，β是第四象限的角，则tanαtanβ解析：选D.由三角函数线可知选D.2．(应用型)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则αtanα＝________．解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为12αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，则△POB的面积为12r·rtanα，由题意得12r·rtanα＝2×12αr2，所以tanα＝2α，所以αtanα＝12.答案：123．(创新型)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则AQ︵＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，所以S1＝12tm·r－S扇形AOB，S2＝12tm·r－S扇形AOB，所以S1＝S2恒成立．答案：S1＝S24．(应用型)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为β|β＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0，2π3.