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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【新高考复习】3 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新题培优练
[基础题组练]1.(2019·合肥市第一次质量检测)已知cosα-sinα=15,则cos2α-π2=()A.-2425B.-45C.2425D.45解析:选C.由cosα-sinα=15,得1-sin2α=125,所以sin2α=2425,所以cos2α-π2=sin2α=2425,故选C.2.(2019·福州模拟)已知cos2α+3cosα=1,则cosα=()A.32B.-32C.12D.-12解析:选C.由题意,得2cos2α+3cosα-2=0,所以(cosα+2)(2cosα-1)=0,解得cosα=12或cosα=-2(舍去),故选C.3.(2019·陕西榆林模拟)已知cosθsinθ=3cos(2π+θ),|θ|π2,则sin2θ=()A.829B.223C.429D.229解析:选C.因为cosθsinθ=3cos(2π+θ),所以cosθsinθ=3cosθ.又|θ|π2,故sinθ=13,cosθ=223,所以sin2θ=2sinθcosθ=2×13×223=429,故选C.4.(2019·四川成都第七中学一诊)已知tanα=m3,tanα+π4=2m,则m=()A.-6或1B.-1或6C.6D.1解析:选A.由题意,tanα=m3,tanα+π4=tanα+11-tanα=2m,则m3+11-m3=2m,所以m=-6或1,故选A.5.(2019·武汉模拟)已知cosx-π6=14,则cosx+cosx-π3=()A.34B.-34C.14D.±34解析:选A.因为cosx-π6=14,所以cosx+cosx-π3=cosx+12cosx+32sinx=332cosx+12sinx=3cosx-π6=3×14=34.故选A.6.(2019·北京丰台二中期中)若sin2α=a,cos2α=b,且tanπ4+α有意义,则tanπ4+α=()A.1+a+b1-a+bB.a+1-ba-1+bC.1+abD.b1-a解析:选C.因为sin2α=a,cos2α=b,所以tanπ4+α=1+tanα1-tanα=sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α=1+ab,故选C.7.2cos10°-sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析:选C.原式=2cos(30°-20°)-sin20°sin70°=2(cos30°·cos20°+sin30°·sin20°)-sin20°sin70°=3cos20°cos20°=3.8.sin10°sin50°sin70°=________.解析:sin10°sin50°sin70°=sin10°cos40°cos20°=sin10°cos10°cos20°cos40°cos10°=18sin80°cos10°=18.答案:189.(2019·郑州市第二次质量预测)已知cosα-π3+cosα=435,则cosπ6-α=________.解析:由cosα-π3+cosα=435可得cosαcosπ3+sinαsinπ3+cosα=435,即32cosα+32sinα=435,332cosα+12sinα=435,得sinπ3+α=45,故cosπ6-α=sinπ3+α=45.答案:4510.(2019·山东淄博模拟)若α为第一象限角,且sin2α=sinα-π2cos(π+α),则2cos2α-π4的值为________.解析:由sin2α=sinα-π2cos(π+α),得2sinαcosα=cos2α.因为α为第一象限角,所以tanα=12,所以2cos2α-π4=2cos2αcosπ4+sin2αsinπ4=cos2α+sin2α=cos2α-sin2α+2sinαcosα=1-tan2α+2tanα1+tan2α=1-14+2×121+14=75.答案:7511.已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.解:(1)因为α,β∈0,π2,从而-π2α-βπ2.又因为tan(α-β)=-130,所以-π2α-β0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且sin(α-β)cos(α-β)=-13,解得sin(α-β)=-1010.(2)由(1)可得,cos(α-β)=31010.因为α为锐角,sinα=35,所以cosα=45.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×31010+35×(-1010)=91050.12.已知cosπ6+αcosπ3-α=-14,α∈π3,π2.(1)求sin2α的值;(2)求tanα-1tanα的值.解:(1)cosπ6+αcosπ3-α=cosπ6+αsinπ6+α=12sin2α+π3=-14,即sin2α+π3=-12.因为α∈π3,π2,所以2α+π3∈π,4π3,所以cos2α+π3=-32,所以sin2α=sin2α+π3-π3=sin2α+π3cosπ3-cos2α+π3sinπ3=-12×12-(-32)×32=12.(2)因为α∈π3,π2,所以2α∈2π3,π,又由(1)知sin2α=12,所以cos2α=-32.所以tanα-1tanα=sinαcosα-cosαsinα=sin2α-cos2αsinαcosα=-2cos2αsin2α=-2×-3212=23.[综合题组练]1.(创新型)(2019·湖北重点高中联考协作体模拟)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m2+n=4,则mn2cos227°-1=()A.8B.4C.2D.1解析:选C.因为m=2sin18°,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°.所以mn2cos227°-1=2sin18°4cos218°2cos227°-1=4sin18°cos18°2cos227°-1=2sin36°cos54°=2sin36°sin36°=2.故选C.2.(应用型)设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为________.解析:由sinαcosβ-cosαsinβ=1,得sin(α-β)=1,又α,β∈[0,π],所以α-β=π2,所以0≤α≤π,0≤β=α-π2≤π,即π2≤α≤π,所以sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin2α-α+π2+sin(α-2α+π)=cosα+sinα=2sinα+π4.因为π2≤α≤π,所以3π4≤α+π4≤5π4,所以-1≤2sinα+π4≤1,即取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]3.(创新型)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m=________.解析:由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10°=-2cos(30°+10°)-sin10°cos10°=-3cos10°cos10°=-3.答案:-34.(应用型)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=55,点B的纵坐标是210.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.解:(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=55,α为锐角,所以sinα=255,cosα=55.又点B的纵坐标是210.所以sinβ=210,cosβ=-7210,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=55×-7210+255×210=-1010.(2)因为cos2α=2cos2α-1=2×552-1=-35,sin2α=2sinα·cosα=2×255×55=45,所以2α∈π2,π.因为β∈π2,π,所以2α-β∈-π2,π2.因为sin(2α-β)=sin2α·cosβ-cos2α·sinβ=-22,所以2α-β=-π4.
本文标题:【新高考复习】3 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新题培优练
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