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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【新高考复习】1 第1讲 坐标系 新题培优练
[基础题组练]1.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得x=x1,y=2y1.由x21+y21=1,得x2+y22=1,即曲线C的标准方程为x2+y24=1.(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0,解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线的斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12x-12,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=34sinθ-2cosθ.2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2=2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为12.3.(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l过点M(-2,-4),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与C交于A,B两点,且|MA|·|MB|=40,求倾斜角α的值.解:(1)直线l的参数方程为x=-2+tcosα,y=-4+tsinα(t为参数),ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程得y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-(2cosα+8sinα)t+20=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,由一元二次方程根与系数的关系得,t1t2=20sin2α,根据直线的参数方程中参数的几何意义,得|MA|·|MB|=|t1t2|=20sin2α=40,得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cosα+8sinα)2-80sin2α0,所以α=π4.4.(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x=2cosφy=sinφ(φ为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0απ2时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解:(1)因为x=2cosφy=sinφ(φ为参数),所以曲线C1的普通方程为x22+y2=1.由x=ρcosθy=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ2=21+sin2θ.因为x2+y2-2y=0,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)由(1)得|OA|2=ρ2=21+sin2α,|OB|2=ρ2=4sin2α,所以|OA|2+|OB|2=21+sin2α+4sin2α=21+sin2α+4(1+sin2α)-4,因为0απ2,所以11+sin2α2,所以621+sin2α+4(1+sin2α)9,所以|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).[综合题组练]1.(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数),直线C2的方程为y=3x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求1|OA|+1|OB|.解:(1)由曲线C1的参数方程为x=2+cosα,y=2+sinα(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,由于直线C2过原点,且倾斜角为π3,故其极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)(tanθ=3).(2)由ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,θ=π3得ρ2-(23+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则ρ1+ρ2=23+2,ρ1ρ2=7,所以1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|·|OB|=ρ1+ρ2ρ1ρ2=23+27.2.在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为x=1+22cosβ,y=1+22sinβ(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+π2.(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;(2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.解:(1)由x=1+22cosβ,y=1+22sinβ(β为参数),消去参数β,得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=8,所以曲线M是以(1,1)为圆心,22为半径的圆.(2)设|OA|=ρ1,|OC|=ρ2,因为O,A,C三点共线,则|AC|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2(*),将曲线M的方程化成极坐标方程,得ρ2-2ρ(sinθ+cosθ)-6=0,所以ρ1+ρ2=2(sinθ+cosθ),ρ1ρ2=-6,代入(*)式得|AC|=28+4sin2θ.用θ+π2代替θ,得|BD|=28-4sin2θ,又l1⊥l2,所以S四边形ABCD=12|AC|·|BD|,所以S四边形ABCD=12(28+4sin2θ)(28-4sin2θ)=249-sin22θ,因为sin22θ∈[0,1],所以S四边形ABCD∈[83,14].3.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosαy=2+2sinα(α为参数),直线l的参数方程为x=3-32ty=3+12t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A,且点A的极坐标为(23,θ),其中θ∈(π2,π).(1)求θ的值;(2)若射线OA与直线l相交于点B,求|AB|的值.解:(1)由题意知,曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4,因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的极坐标方程为(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,即ρ=4sinθ.由ρ=23,得sinθ=32,因为θ∈(π2,π),所以θ=2π3.(2)由题,易知直线l的普通方程为x+3y-43=0,所以直线l的极坐标方程为ρcosθ+3ρsinθ-43=0.又射线OA的极坐标方程为θ=2π3(ρ≥0),联立,得θ=2π3(ρ≥0)ρcosθ+3ρsinθ-43=0,解得ρ=43.所以点B的极坐标为43,2π3,所以|AB|=|ρB-ρA|=43-23=23.4.(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中,已知曲线C1:ρcosθ+π4=22,C2:ρ=1(0≤θ≤π),C3:1ρ2=cos2θ3+sin2θ.设C1与C2交于点M.(1)求点M的极坐标;(2)若直线l过点M,且与曲线C3交于不同的两点A,B,求|MA|·|MB||AB|的最小值.解:(1)曲线C1:ρcosθ+π4=22,可得x-y=1,C2:ρ=1(0≤θ≤π),可得x2+y2=1(y≥0),由x-y=1,x2+y2=1(y≥0),可得点M的直角坐标为(1,0),因此点M的极坐标为(1,0).(2)由题意得,曲线C3的直角坐标方程为x23+y2=1.设直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数),代入曲线C3的直角坐标方程并整理得(3sin2α+cos2α)t2+(2cosα)t-2=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2cosα3sin2α+cos2α,t1t2=-23sin2α+cos2α,所以|MA|·|MB|=|t1t2|=23sin2α+cos2α,|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=-2cosα3sin2α+cos2α2-4·-23sin2α+cos2α=231+sin2α3sin2α+cos2α.所以|MA|·|MB||AB|=331+sin2α.因为0≤απ,所以0≤sin2α≤1.所以当α=π2时,sinα=1,此时|MA|·|MB||AB|有最小值,最小值为66.
本文标题:【新高考复习】1 第1讲 坐标系 新题培优练
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