【新高考复习】专题10 圆锥曲线-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

易错点1混淆“轨迹”与“轨迹方程”如图，已知点0(1)F，，直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ，求动点P的轨迹．【错解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QPQFFPFQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．【试题解析】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由QPQFFPFQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．【参考答案】动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．1．求轨迹方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:（1）直接法：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．（2）定义法：求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（3）相关点法：动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()Pxy却随另一动点(),Qxy的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x，y表示成关于x，y的式子，再代入Q的轨迹方程整理化简即得动点P的轨迹方程．（4）参数法：若动点,()Pxy坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()Pxy的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()Pxy中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.2．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．已知点P(2，2)，圆C：2280xyy，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及POM△的面积．【答案】（1）221(3))(2xy；（2）165．【解析】（1）圆C的方程可化为22(4)16xy，所以圆心为C(0，4)，半径为4．设M(x，y)，则(,)4CMxy，2(),2MPxy．由题设知0CMMP，故(2)(4)(2)0xxyy，即221(3))(2xy．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是221(3))(2xy．（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为13，故直线l的方程为1833yx．又|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为4105，|PM|＝4105，所以POM△的面积为165．易错点2求轨迹方程时忽略变量的取值范围已知曲线C：y＝x2－2x＋2和直线l：y＝kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.【错解】依题意，由y＝x2－2x＋2，y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有12212212121xxxkyykyk，故线段AB中点的轨迹方程为220xyx.【错因分析】消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许范围，故应对x，y加以限制．【试题解析】依题意，由y＝x2－2x＋2y＝kx，分别消去x、y得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，①(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.②设AB的中点为P(x，y)，则在①②中分别有x＝x1＋x22＝11－k2，③y＝y1＋y22＝k1－k2，④又对②应满足222212221221044(2)(1)0201201kkkkkyykkyyk，解得22k1.结合③④，则有x2，y2.所以所求轨迹方程是x2－y2－x＝0(x2，y2)．【参考答案】轨迹方程是x2－y2－x＝0(x2，y2).1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0fxy的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件，由曲线和方程的概念可知，在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围.2．已知ABC△的三边a、b、c(abc)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程.【答案】x24＋y23＝1(－2x0)．【解析】设点B的坐标为(x，y)．∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4.根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为x24＋y23＝1.∵ac，∴2222(1)(1)xyxy，解得x0.又点B不在x轴上，∴x≠－2.故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1(－2x0)．本题在求出顶点B的轨迹方程后，容易忽略了题设中的条件abc，使变量x的范围扩大，从而导致错误．另外，注意当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．易错点3忽略椭圆定义中的限制条件若方程22186xykk表示椭圆，则实数k的取值范围为________________．【错解】由8060kk，可得68k，所以实数k的取值范围为(6，8)．【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a＞b＞0这一限制条件，当a＝b＞0时表示的是圆的方程．【试题解析】由806086kkkk，可得68k且7k，所以实数k的取值范围为(6，7)∪(7，8)．【方法点睛】准确理解椭圆的定义，明确椭圆定义中的限制条件，才能减少解题过程中的失误，从而保证解题的正确性．【参考答案】(6，7)∪(7，8)．平面上到两定点12,FF的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122FFc.定义式：12122(2)PFPFaaFF.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.3．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是A．椭圆B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】虽然动点M到两个定点F1，F2的距离为常数8，但由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2，故选D．平面上到两定点12,FF的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F1F2|＜2a这一隐含条件，就会错误地得出点M的轨迹是椭圆.易错点4忽略对椭圆焦点位置的讨论已知椭圆的标准方程为2221(0)36xykk，并且焦距为8，则实数k的值为_____________．【错解1】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故25k．【错解2】因为2c＝8，所以c＝4，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故213k．【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误．【试题解析】因为2c＝8，所以c＝4，①当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故25k；②当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故213k．综上，25k或213．【方法点睛】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维定式，想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解．【参考答案】25k或213．1．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.对于方程221xymn，①表示焦点在x轴上的椭圆0,0mn且mn；②表示焦点在y轴上的椭圆0,0mn且mn；③表示椭圆0,0mn且mn．对于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的椭圆的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当B＞A时，表示焦点在x轴上的椭圆；当B＜A时，表示焦点在y轴上的椭圆．2．求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)xyabab或22221(0)yxabab.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,abc的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222cab－）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.3．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B).求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.4．已知13a，23c，则该椭圆的标准方程为A．2211312xyB．2211325xy或2212513xyC．22113xyD．22113xy或22113yx【答案】D【解析】由题意可知2221bac，当焦点在x轴上时，椭圆方程为22113xy；当焦点在y轴上时，椭圆方程为22113yx．故选D．本题在求解时容易忽略焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上，从而求出椭圆的标准方程为x240＋y210＝1.为了避免讨论，也可以如下方法设椭圆方程：与椭圆22221xyab有相同焦点的椭圆方程可设为222221(xykaakbk且2)kb，与椭圆22221(0)xyabab有相同离心率的椭圆方程可设为2222(0xymmab，焦点在x轴上)或2222(0yxnnab，焦点在y轴上)．易错点5忽略椭圆的范围设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率32e，已知点3(0,)2P到椭圆的最远距离为7，求椭圆的标准方程．【错解】由题意可设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，则22222222314cabbeaaa，故2214ba，即2ab．设椭圆上的点(,)xy到点P的距离为d，则222222222331()(1)()3()43222ydxyayybb，所以当12y时，2d取得最大值，从而d取得最大值，所以2243(7)b，解得21b，24a．故所求椭圆的标准方程为2214xy