【新高考复习】专题12 计数原理-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

易错点1分类计数时考虑不全有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．【参考答案】39种.1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.2．使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．3．应用分类加法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有种不同的选取方法(用数字作答).【答案】18【解析】由题意可知,有两种情况:(1)1名男教师与2名女教师,共有种不同的选取方法;(2)2名男教师与1名女教师,共有种不同的选取方法.所以根据分类加法计数原理可知,共有9+9=18种不的选取方法.易错点2未选准分步依据将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.根据分步乘法计数原理，共有3444464种不同的投法.【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有43333381种投法.【参考答案】81种.对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有3444464种不同的投法.1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;（2）完成每一步有若干方法;（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为A．5760B．57600C．2880D．28800【答案】B【解析】先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即种排法，女生不排在两端,则加上另外的3名男生共4个选择中选2个排在两端，即种排法，剩下的元素全排列,即种排法，故有=57600．故选：B．易错点3忽视排列数、组合数公式的隐含条件解不等式288A6Axx.【错解】由排列数公式得8!8!6(8)!(10)!xx，化简得x2－19x＋840，解之得7x12.∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.【错因分析】在排列数公式Amn中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－20，8≥x，导致错误．【试题解析】由288A6Axx，得8!8!6(8)!(10)!xx，化简得x2－19x＋840，解之得7x12，①又8≥x，x－20，∴2x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.【参考答案】x＝8.注意公式的适用条件．数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式Amn中，n∈N*，m∈N*，且n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．1．应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“n∈N*，m∈N*，且n≥m”，即上标不大于下标且均为正整数.2．ACAmmnnmm这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：（1）排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.（2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：①当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；②对含有字母的排列数的式子进行变形.注意常用变形1111AA,AAA(!(1)!!)nnnnnnnnnnnnnnnn的应用.3．0CCmnmknknkA．2mnB．C2mnmC．2CnmnD．2Cmmn【答案】D【解析】∵!!!!CCCC!!!!!!!!nmkmknknnmnknnmnmmkknknmmmkk,∴原式=00CCCC2Cmmmkmkmmnmnmnkk.组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式的阶乘形式主要作用有：(1)计算m，n较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.易错点4重复计数与遗漏计数有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A．1260B．2025C．2520D．5040【错解】分三步完成：第1步,从10人中选出4人，有410C种方法.第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有24A种方法.第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A种方法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有410C24A22A5040种.故选D．【错因分析】错解中对“排列”、“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A应为24C.【试题解析】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有2111087CCC2520种.故选C．【参考答案】C．计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻1()knk，求不同排法种数的方法是：先将nk个元素排成一排,然后把k个元素插入1nk个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.4．某学校安排甲、乙、丙、丁等5位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有1位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,丙、丁也不能参加同一学科,则不同的安排方法有种.【答案】84【解析】①当两门学科分别有2人,另一门学科有1人时,有225322CCA·33A种安排方法,其中甲、乙2人或丙、丁2人报同一学科有33A+433A种安排方法;②当两门学科分别有1人,另一门学科有3人时,有113223CCA种安排方法.故满足条件的方法共有225322CCA·33A−33A−43132AC1323CA=90−6−24+24=84种.易错点5要正确区分分堆与分配问题有12本不同的书，分成4堆.(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】(1)有333312963CCCC种分法；(2)有1344121184CCCC种分法；(3)有1236121196CCCC种分法．【错因分析】A、B、C、D四本书平均分为两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C24·C22＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．【试题解析】(1)有33331296344CCCCA种分法．(2)有134412118422CCCCA种分法．(3)有1236121196CCCC种分法．【参考答案】见试题解析.1．分堆与分配问题将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CmnCmn－m…Cmm个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为Cmn·Cmn－m·…·Cmmk！.2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．5．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)分三步：先选一本有C16种选法，再从余下的5本中选两本有C25种选法；最后余下的三本全选有C33种选法．由分步乘法计数原理知，分配方法共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还应