高考数学题难题巧解思路与方法

1/30高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为135，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）（A）1342222yx（B）15132222yx（C）1432222yx（D）112132222yx【巧解】由题意椭圆的半焦距为5c，双曲线2C上的点P满足|,|8||||||2121FFPFPF∴点P的轨迹是双曲线，其中5c，4a，∴3b，故双曲线方程为1342222yx，∴选（A）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线xy22上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（A）217（B）3（C）5（D）29【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22ppxy的焦点F作倾斜角为450的2/30直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p．【巧解】依题意直线AB的方程为2pxy，由pxypxy222消去y得：04322ppxx，设),(11yxA，),(22yxB，∴pxx321，根据抛物线的定义。2||2pxBF，2||1pxAF，∴84||21ppxxAB，∴2p，故本题应填2。二、代入法求解若动点),(yxP依赖于另一动点),(00yxQ而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0xfx，)(0xgy，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：2xy与直线l：02yx交于两点),(AAyxA和),(BByxB，且BAxx，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点),(tsP是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；【巧解】联立2xy与2xy得2,1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，∴中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x）.【例2】（2008年，江西卷）设),(00yxP在直线mx)10,(mmy上，过点P作双3/30曲线122yx的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M)0,(1m。过点A作直线0yx的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程。【巧解】设1122(,),(,)AxyBxy，由已知得到120yy，且22111xy，22221xy，（1）垂线AN的方程为：11yyxx，由110yyxxxy得垂足1111(,)22xyxyN，设重心(,)Gxy所以11111111()321(0)32xyxxmxyyy解得1139341934xymxyxmy由22111xy可得11(33)(33)2xyxymm即2212()39xym为重心G所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1F和)3,0(2F为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM，求点M的轨迹方程4/30三、直接求解法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线)0,0(1:2222babyaxC的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点。若FBAF4，则C的离心率为（）（A）56（B）57（C）58（D）59【巧解】设),(11yxA，),(22yxB，)0,(cF，由FBAF4，得),(4),(2211ycxyxc∴214yy，设过F点斜率为3的直线方程为cyx3，由03222222bayaxbcyx消去x得：032)3(42222bycbyab，∴224212222133)3(36abbyyabcbyy，将214yy代入得224222222334)3(363abbyabcby化简得)3(43)3(32224222222abbyabcby，∴)3(43)3(3422422224abbabcb，化简得：)3(9)3(916222222acabac，∴223625ac，25362e，即56e。故本题选（A）【例2】（2008年，四川卷）设定义在R上的函数)(xf满足13)2()(xfxf，若2)1(f，则)99(f（）5/30（A）13（B）2（C）213（D）132【巧解】∵)(13)2(xfxf，∴)()(1313)2(13)4(xfxfxfxf∴函数)(xf为周期函数，且4T，∴213)1(13)3()3244()99(ffff故选（C）巧练一：（2008年，湖北卷）若),1()2ln(21)(2在xbxxf上是减函数，则b的取值范围是（）A．),1[B．),1(C．]1,(D．)1,(巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）A．22B．2C．22D．42四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=（）A．41a+21bB．32a+31bC．21a+41bD．31a+32b【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD则)0,2(B，)2,2(C，)2,0(D，)1,1(O，)23,21(E，∴直线AE的方程为xy3，联立23yxy得)2,32(FAxyOBDCE6/30∴)2,32(AF，设BDyACxAF，则)22,22()2,2()2,2(yxyxyxAF∴2223222yxyx解之得32x，31y，∴baBDACAF31323132，故本题选B【例2】已知点O为ABC内一点，且OCOBOA320，则AOB、AOC、BOC的面积之比等于（）A．9：4：1B．1：4：9C．3：2：1D．1：2：3【巧解】不妨设ABC为等腰三角形，090B3BCAB，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B)3,0(A，)0,3(C，设),(yxO，∵OCOBOA320，即)0,0(),3(3),(2)3,(yxyxyx∴3696yx解之得23x，21y，即)21,23(O，又直线AC的方程为03yx，则点O到直线AC的距离2211|32123|22h，∵23||AC，因此49||||21xABSAOB，43||||21yBCSBOC，23||21hACSAOC，故选C巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且,2,2EACEBDDCBCCFBEADFBAF与则,2（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直巧练二：设O是ABC内部一点，且OBOCOA2，则AOB与AOC面积之比是.五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的ABCxyO7/30味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，①个位为0，即0型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为3414AA；②个位为2，即2，此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为3413AA；③个位为4，4型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为3413AA；故共有240234133414AAAA个。故选（B）【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）A．56个B．57个C．58个D．60个【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即3型，此特点只需其它数进行全排列即可。有44A种，（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：24，25，41，42型，而每种情况均有33A种满足条件，故共有334A种。（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：234，235，431，432型，而每种情况均有22A种满足条件，故共有224A种。（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有23154和43512两种情况满足条件。故共有58244223344AAA个，故选C巧练一：用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）A．110种B．109种C．108种D．107种8/30巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可