第2部分 专题1 第1讲　三角函数的图象与性质(共65张PPT)

专题一三角函数与解三角形第二部分核心专题师生共研第1讲三角函数的图象与性质考点1三角函数的值域、最值01高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷乙)函数f(x)＝sinx3＋cosx3的最小正周期和最大值分别是()A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2C[因为函数f(x)＝sinx3＋cosx3＝222sinx3＋22cosx3＝2sinx3cosπ4＋cosx3sinπ4＝2sinx3＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.故选C．]2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．－4[∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]3．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________.π2(答案不唯一，只要符合π2＋2kπ，k∈Z即可)[法一：由f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＋cosx＝cosφsinx＋(1＋sinφ)cosx＝cos2φ＋1＋sinφ2sin(x＋θ)其中tanθ＝1＋sinφcosφ.∵sin(x＋θ)≤1，∴cos2φ＋1＋sinφ2＝2＋2sinφ＝2时，f(x)的最大值为2，∴2sinφ＝2，∴sinφ＝1，∴φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ的一个取值可为π2.法二：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，又sin(x＋φ)≤1，cosx≤1，则sin(x＋φ)＝cosx＝1时，f(x)取得最大值2.由诱导公式，得φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∴φ的一个取值可为π2.]命题规律：高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等．通性通法：三角函数值域(最值)的3种求法(1)直接法：利用sinx，cosx的有界性求解．(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．1．[与恒等变换交汇]当函数y＝3sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.2π3[∵y＝3sinx－cosx＝232sinx－12cosx＝2sinx－π6.∵0≤x＜2π，∴－π6≤x－π6＜11π6.∴当x－π6＝π2，即x＝2π3时，函数取得最大值．]2．[求参数ω的范围]已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)在π12，π3上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．34，3[函数f(x)＝sinωx＋π4(ω＞0)在π12，π3上有最大值，但没有最小值，所以ω·π12＋π4＜π2＜ω·π3＋π4≤3π2⇒ω∈34，3.]3．[知识交汇求最值]已知函数f(x)＝2cosx＋sin2x，则f(x)的最大值为________．332[∵f′(x)＝－2sinx＋2cos2x＝2－4sin2x－2sinx＝－2(2sinx－1)(sinx＋1)，由f′(x)＝0得sinx＝12或sinx＝－1.∴当－1＜sinx＜12时，f′(x)＞0，当12＜sinx＜1时，f′(x)＜0.∴当sinx＝12时，f(x)取得极大值．此时cosx＝－32或cosx＝32.经验证可知，当cosx＝32时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cosx(sinx＋1)，∴f(x)max＝2×32×1＋12＝332.]考点2三角函数的图象与解析式02高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·全国卷乙)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx－π4的图象，则f(x)＝()A．sinx2－7π12B．sinx2＋π12C．sin2x－7π12D．sin2x＋π12B[依题意，将y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sinx－π4――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y＝sinx＋π12的图象――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f(x)＝sinx2＋π12的图象．]2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝()A．sinx＋π3B．sin2x－π3C．cos2x＋π6D．cos5π6－2xC[由图象知T2＝2π3－π6＝π2，得T＝π，所以ω＝2πT＝2.又图象过点π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx＋φ)＝sin2x＋2π3，故A错误；由sin2x＋2π3＝sinπ－π3－2x＝sinπ3－2x＝－sin2x－π3知B错误；由sin2x＋2π3＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6知C正确；由sin2x＋2π3＝cos2x＋π6＝cosπ＋2x－5π6＝－cos5π6－2x知D错误．综上可知，正确的选项为C．]3．(2021·全国卷甲)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件fx－f－7π4fx－f4π3＞0的最小正整数x为________．2[由题图可知，34T＝13π12－π3＝3π4(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．点π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f(x)＝2cos2x－π6，所以f－7π4＝2cos2×－7π4－π6＝2cos－11π3＝2cosπ3＝1，f4π3＝2cos2×4π3－π6＝2cos5π2＝0，所以fx－f－7π4fx－f4π3＞0，即(f(x)－1)f(x)＞0，可得f(x)＞1或f(x)＜0，所以cos2x－π6＞12或cos2x－π6＜0.当x＝1时，2x－π6＝2－π6∈π3，π2，cos2x－π6∈0，12，不符合题意；当x＝2时，2x－π6＝4－π6∈π，7π6，cos2x－π6＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2.]命题规律：高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换．前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力．常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等．通性通法：求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法字母确定途径说明A、B由最值确定A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2ω由函数的周期确定利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ提醒：三角函数图象的平移问题(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一．(2)将y＝sinωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ωx＋φω，根据φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．1．[图象变换]下列选项中，函数f(x)＝2sinx＋π6的图象可以由函数g(x)＝3sin2x－cos2x的图象变化得到的是()A．先将g(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位长度B．先将g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位长度C．先将g(x)的图象上所有点向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D．先将g(x)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D[把函数g(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6的图象上所有点向左平移π6个单位长度，可得y＝2sin2x＋π6的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f(x)＝2sinx＋π6的图象．或者先将g(x)＝2sin2x－π6的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sinx－π6的图象，再向左平移π3个单位长度，可得函数f(x)＝2sinx＋π6的图象．故选D．]2．[图象平移的应用]若将函数y＝tanωx＋π4(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tanωx＋π6的图象重合，则ω的最小正值为()A．16B．14C．13D．12D[将y＝tanωx＋π4的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝tanωx＋π4－ωπ6的图象，由平移后的图象与y＝tanωx＋π6的图象重合，得π4－ωπ6＝kπ＋π6，k∈Z，故ω＝－6k＋12，k∈Z，所以ω的最小正值为12.]3．[知图求值]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则f(x)＝________，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝________.2sinπ4x2[由题图知A＝2，T2＝6－2＝4，∴T＝8，则ω＝2π8＝π4.∴y＝2sinπ4x＋φ.又∵函数图象过点(2,2)，∴2sinπ4×2＋φ＝2，∴π2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，则φ＝2kπ(k∈Z)，∴f(x)＝2sinπ4x.∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2.]考点3三角函数的性质及应用03高考串讲·找规律考题变迁·提素养1．(2021·新高考卷Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sinx－π6单调递增的区间是()A．0，π2B．π2，πC．π，3π2D．3π2，2πA[法一：(常规求法)令－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，