第2部分 专题1 第2讲　三角恒等变换与解三角形(共70张PPT)

专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形第二部分核心专题师生共研考点1三角恒等变换01高考串讲·找规律考题变迁·提素养12341．(2021·新高考卷Ⅰ)若tanθ＝－2，则sinθ1＋sin2θsinθ＋cosθ＝()A．－65B．－25C．25D．651234C[法一：(求值代入法)因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以sinθ＝25cosθ＝－15或sinθ＝－25cosθ＝15，所以sinθ1＋sin2θsinθ＋cosθ＝sinθsinθ＋cosθ2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25.故选C．1234法二：(弦化切法)因为tanθ＝－2，所以sinθ1＋sin2θsinθ＋cosθ＝sinθsinθ＋cosθ2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.故选C．1234法三：(正弦化余弦法)因为tanθ＝－2，所以sinθ＝－2cosθ.则sinθ1＋sin2θsinθ＋cosθ＝sinθsinθ＋cosθ2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝4cos2θ－2cos2θ4cos2θ＋cos2θ＝4－21＋4＝25.故选C．]12342．(2021·全国卷甲)若α∈0，π2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα＝()A．1515B．55C．53D．1531234A[因为α∈0，π2，所以tan2α＝2sinαcosα2cos2α－1＝cosα2－sinα⇒2sinα2cos2α－1＝12－sinα⇒2cos2α－1＝4sinα－2sin2α⇒2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα⇒sinα＝14⇒tanα＝1515.]12343．(2020·全国卷Ⅲ)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6＝()A．12B．33C．23D．221234B[∵sinθ＋sinθ＋π3＝32sinθ＋32cosθ＝3sinθ＋π6＝1，∴sinθ＋π6＝33，故选B．]12344．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.－12[∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.]命题规律：高考常以选择题、填空题的形式考查，分值5分，难度中等.命题突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”．从“角”入手，活用三角恒等变换公式是破解此类问题的关键．通性通法：三角恒等变换的技巧(1)“化异为同”：即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2α2，cos2α2时，常逆用二倍角的余弦公式降幂．(2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－π4－α，α＝π4－π4－α等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧．12341．[与三角函数的定义交汇](2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点．若A的横坐标为66，则()A．sinα＝66B．cos2α＝－23C．sin2α＝－53D．tan2α＝－521234B[由三角函数的定义，可知cosα＝66，sinα＝±306，则cos2α＝2cos2α－1＝－23，sin2α，tan2α均有两解，故选B．]12342．[给值求值]若sinπ6－x＝45，则sinπ6＋2x的值为()A．2425B．－2425C．725D．－7251234D[由sinπ6－x＝45得cosπ3－2x＝1－2sin2π6－x＝1－2×1625＝－725，∴sinπ6＋2x＝sinπ2－π3－2x＝cosπ3－2x＝－725，故选D．]12343．[给值求角]已知α∈0，π2，β∈0，π2，tanα＝cos2β1－sin2β，则()A．α＋β＝π2B．α－β＝π4C．α＋β＝π4D．α＋2β＝π21234B[tanα＝cos2β1－sin2β＝cos2β－sin2βcos2β＋sin2β－2sinβcosβ＝cosβ＋sinβcosβ－sinβcosβ－sinβ2＝cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝1＋tanβ1－tanβ＝tanπ4＋β，因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.]12344．[给角求值](tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.－2[(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.]考点2利用正、余弦定理解三角形02高考串讲·找规律考题变迁·提素养12341．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．31234A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－4c2＋b22bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A．]12342．(2021·全国卷甲)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()1234A．346B．373C．446D．4731234B[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝100tan15°.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝C′B′×sin45°sin75°.1234又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝C′B′×sin45°sin75°，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝C′B′×sin45°sin75°＋100＝100tan15°×sin45°sin75°＋100＝100sin45°sin15°＋100＝100×2222×32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.]12343．(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝334.1234[解](1)∵c＝2bcosB，则由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB，∴sin2B＝sin2π3＝32，∵C＝2π3，∴B∈0，π3，2B∈0，2π3，∴2B＝π3，解得B＝π6.1234(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得cb＝sinCsinB＝3212＝3，与c＝2b矛盾，故这样的△ABC不存在．若选择②：由(1)可得A＝π6，设△ABC的外接圆半径为R，1234则由正弦定理可得a＝b＝2Rsinπ6＝R，c＝2Rsin2π3＝3R，则周长a＋b＋c＝2R＋3R＝4＋23，解得R＝2，则a＝2，c＝23，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：(23)2＋12－2×23×1×cosπ6＝7.1234若选择③：由(1)可得A＝π6，即a＝b，则S△ABC＝12absinC＝12a2×32＝334，解得a＝3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：b2＋a22－2×b×a2×cos2π3＝3＋34＋3×32＝212.12344．(2021·新高考卷Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．1234[解](1)∵2sinC＝3sinA⇒2c＝3a，又∵c＝a＋2，∴a＝4c＝6，∴b＝5，∴cosC＝16＋25－362×4×5＝18，sinC＝378，∴S△ABC＝12×4×5×378＝1574.1234(2)显然c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，则只需C为钝角，∴cosC＝a2＋a＋12－a＋222aa＋1＜0⇒a2－2a－3＜0，∴0＜a＜3且a＋a＋1＞a＋2⇒a＞1，∴1＜a＜3，∵a∈Z，∴a＝2，∴存在正整数a＝2满足题意．命题规律：高考常以1个选择题和1个解答题的形式考查，占17分，基础题为主；命题重在考查几何图形的边、角、面积的计算，解题的关键是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的灵活运用．通性通法：等价转化思想在解三角形中的应用(1)利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化．①当出现边角混合时，常利用正弦定理；②当出现三边的平方时，常利用余弦定理．(2)若想“边”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“边”化，常利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，cosC＝a2＋b2－c22ab(R为三角形外接圆的半径)等．12341．[以平面图形为载体]在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝()A．5B．6C．7D．221234C[如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝7.故选C．]12342．[与恒等变换交汇]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝55，a＝2b，c＞a，则角C的大小为()A．π3B．π2C．2π3D．3π41234D[∵sinA＝55，a＝2b，c＞a，∴由正弦定理可得sinA＝2sinB，可得sinB＝sinA2＝552＝1010，1234∵c＞a＞b，∴cosA＝1－sin2A＝255，cosB＝1－sin2B＝31010，∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝55×1010－255×31010＝－22，∵0＜C＜π，∴C＝3π4.]12343．[以空间图形为载体]如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B