【新高考复习】第二节 第1课时 系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性 教案

第二节函数的性质第1课时系统知识牢基础——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性知识点一函数的单调性1．增函数与减函数2．单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．[提醒](1)函数单调性定义中的x1，x2具有以下三个特征：一是任意性，即“任意两数x1，x2∈D”，“任意”两字决不能丢；二是有大小，即x1x2(或x1x2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．(2)若函数在区间D上单调递增(或递减)，则对D内任意的两个不等自变量x1，x2的值，都有fx1－fx2x1－x20或fx1－fx2x1－x20.(3)函数f(x)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质．3．谨记常用结论(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．(2)k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与1fx具有相反的单调性．(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．[重温经典]1．(人教A版教材P39B组T1)函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是()A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)答案：A2．(教材改编题)如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝a－12且在区间12，1上是增函数，∴a－12≤12，即a≤2.答案：(－∞，2]3．函数f(x)＝lg(9－x2)的定义域为________；其单调递增区间为________．解析：对于函数f(x)＝lg(9－x2)，令t＝9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3,3)．令g(x)＝9－x2，则函数f(x)＝lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的增区间为(－3,0]，所以函数f(x)＝lg(9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3,0]．答案：(－3,3)(－3,0]4．(易错题)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]5．若函数y＝2x＋kx－2与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．解析：由于y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故函数y＝2x＋kx－2＝2x－2＋4＋kx－2＝2＋4＋kx－2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.答案：(－∞，－4)6．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)f12的实数x的取值范围为________．解析：由题设得－1≤x≤1，x12，解得－1≤x12.答案：－1，12知识点二函数的最值1．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．[提醒](1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2)对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3)一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法．注意以下关系：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a.解题时，要务必注意“＝”的取舍．[重温经典]1．(人教A版教材P31例4)函数f(x)＝2x－1在[2,6]上的最大值是________．答案：22．(教材改编题)若函数f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________.解析：∵f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上是增函数，∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.即－2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52.答案：1523．(易错题)函数y＝x2－1x2＋1的值域为________．解析：法一：由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y1，故所求函数的值域为[－1,1)．法二：由y＝x2－1x2＋1＝x2＋1－2x2＋1＝1＋－2x2＋1，令t＝x2＋1，则t≥1，∴－2t∈[－2,0)，∴y＝1＋－2t∈[－1,1)，∴所求函数的值域为[－1,1)．答案：[－1,1)4．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：25．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数f(x)有最小值－2.故当x＝0时，函数f(x)有最小值，当x＝1时，函数f(x)有最大值．∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.答案：1知识点三函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特征奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．[重温经典]1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是增函数的有()A．y＝2－|x|B．y＝x23C．y＝x2－1D．y＝x3解析：选BCA．令y＝f(x)＝2－|x|，f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，是偶函数，但在(0，＋∞)上，y＝2－x是减函数，故A错误；B.令y＝f(x)＝x23，f(－x)＝(－x)23＝x23，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故B正确；C.令y＝f(x)＝x2－1，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，故C正确；D.令y＝f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，是奇函数，故D错误．故选B、C.2．(人教A版教材P39A组T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.答案：－23．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.答案：－54．已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________________．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x0时，－x0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.∴f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x0.答案：f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x05．(易错题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13.答案：136．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．解析：当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，解得m＝－1，∴f(x)＝3x－1.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.答案：－4知识点四函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．谨记常用结论定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|；(2)若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝1fx，f(x＋a)＝－1fx(a0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．[重温经典]1．(教材改编题)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1x0，x，0≤x1，则f32＝________.答案：12．(教材改编题)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.解析：由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，∴f(3)－f(4)＝－1.答案：－13．已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(2022)＝________.解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，∴当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，∴f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，周期为6.故f(2022)＝f(0)＝0.答案：04．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案：35．定义在R上的函数f(x)，满足f