【新高考复习】第三节 第1课时 系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 教

第三节圆的方程第1课时系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系知识点一圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F22．点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．3．谨记常用结论若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：(1)当F＝0时，圆过原点．(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．[重温经典]1．(教材改编题)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案：D2．(教材改编题)圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：D3．(易错题)方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案：B4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a＝±1答案：A5．(教材改编题)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．解析：设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，由题意可得5－a2＋4＝r2，－1－a2＋16＝r2，解得a＝1，r2＝20，所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝20.答案：(x－1)2＋y2＝206．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．解析：由题意，设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点B(4,2)在直线2x＋y－10＝0上，所以点B(4,2)是圆与直线2x＋y－10＝0的切点，连接圆心C和切点的直线与切线2x＋y－10＝0垂直，则kBC＝12，则BC的方程为y－2＝12(x－4)，整理得x－2y＝0，由线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0，联立方程组3x－y－5＝0，x－2y＝0，解得x＝2，y＝1，即圆心坐标为C(2,1)，又由r＝||BC＝4－22＋2－12＝5，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5知识点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0几何观点drd＝rdr2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.(3)切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F.②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝2ard.[提醒]过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3．圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2r2－d2.(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.4．谨记常用结论过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.[重温经典]1．(教材改编题)直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：选D圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为|2－1＋1|2＝22，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋－12≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C.3．(教材改编题)圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝3x截得的线段长为()A．2B.3C．1D.2解析：选C圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离为d＝|3|3＋1＝32，弦长为2·1－322＝1，故选C.4．(易错题)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－2y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：选D圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，∴|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.5．(教材改编题)设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝()A．－1或1B．1或5C．－1或3D．3或5解析：选B由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为3.所以圆心到直线的距离为32－12＝|－1－2＋a|2，解得a＝1或5.故选B.6．已知直线l与圆x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(－1,1)，则直线l的方程为__________．解析：因为圆x2＋y2－4y＝0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(－1,1)，所以直线CP的斜率为kCP＝2－10＋1＝1.又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，所以AB⊥CP，故kAB＝－1，即直线l的斜率为－1，因此，直线l的方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.答案：x＋y＝0知识点三圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．2．谨记常用结论圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．[重温经典]1．(教材改编题)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：选B圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1dr1＋r2，故两圆相交．2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定解析：选C由题意得C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，则两圆心之间的距离为|C1C2|＝m＋12＋－2－m2＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为()A．8B．4C．2D．1解析：选B两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4，故选B.4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径r2＝1.∴两圆心的距离d＝－1－22＋－1－12＝13，r1＋r2＝3，∴dr1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．5．(教材改编题)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的长为23，则a＝________.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－32＝1⇒a＝1.答案：16．(易错题)若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.解析：两圆的圆心距d＝－42＋a2，由两圆相切，得－42＋a2＝5＋1或－42＋a2＝5－1，解得a＝±25或a＝0.答案：±25或0