【新高考复习】课时跟踪检测（十八） 任意角和弧度制及任意角的三角函数 作业

课时跟踪检测（十八）任意角和弧度制及任意角的三角函数1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.π3B.π6C．－π3D．－π6解析：选C将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为()A．－π3B.2π3C．－2π3D．－4π3解析：选D因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sinα＝－45，cosα＝35，∴sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.故选D.4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为2，若α＝π4，则点P的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(2，2)D．(1,1)解析：选D设P(x，y)，则sinα＝y2＝sinπ4，∴y＝1.又cosα＝x2＝cosπ4，∴x＝1，∴P(1,1)．5．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值为()A．1B．－1C．3D．－3解析：选B由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．(多选)下列结论中正确的是()A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sinα＝45B．若α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度D．若0απ2，则sinαtanα解析：选BCD当k＝－1时，P(－3，－4)，则sinα＝－45，故A错误；∵2kπα2kπ＋π2，k∈Z，∴kπα2kπ＋π4，k∈Z，∴α2为第一或第三象限角，故B正确；|α|＝lr＝6－42＝1，故C正确；∵0απ2，∴sinαtanα⇔sinαsinαcosα⇔cosα1，故D正确．7．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是()A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4解析：选B∵sinα＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴角α的最小正值是11π6.8．已知α，β是第一象限角，且sinαsinβ，则()A．αβB．αβC．cosαcosβD．tanαtanβ解析：选D因为α，β是第一象限角，所以sinα0，sinβ0，又sinαsinβ，所以sin2αsin2β0，所以1－cos2α1－cos2β，所以cos2αcos2β，所以1cos2α1cos2β0，所以tan2αtan2β，因为tanα0，tanβ0，所以tanαtanβ.故选D.9．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.解析：因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.解析：由已知tanα＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，∴m2＝1，又sinα0，∴m＝－1，n＝－3.∴m－n＝2.答案：211．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝4r－2.∴S扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.答案：12112.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则AQ＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1＝S扇形AOQ－S扇形AOB＝12tm·r－S扇形AOB，S2＝S△AOP－S扇形AOB＝12tm·r－S扇形AOB，∴S1＝S2恒成立．答案：S1＝S213．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－15.当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝15.(2)当a＞0时，sinθ＝35∈0，π2，cosθ＝－45∈－π2，0，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos35·sin－45＜0；当a＜0时，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ＝45∈0，π2，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos－35·sin45＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．14．已知sinα＜0，tanα＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号．解：(1)由sinα＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tanα＞0,知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z.(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tanα2＜0，sinα2＞0,cosα2＜0，所以tanα2sinα2cosα2取正号；当α2在第四象限时，tanα2＜0，sinα2＜0,cosα2＞0，所以tanα2sinα2cosα2也取正号．因此，tanα2sinα2cosα2取正号．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形，则B12，32，可得tan∠AOB＝yx＝3，故∠AOB＝π3.故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝π3＋2kπ，k∈Z}.(3)若α∈0，2π3，则S扇形OAB＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×1×sinα＝12sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形OAB－S△AOB＝12α－12sinα，α∈0，2π3.