【新高考复习】课时跟踪检测（十九） 同角三角函数的基本关系与诱导公式 作业

课时跟踪检测（十九）同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础练——练手感熟练度1．已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tanx的值为()A.34B．－34C.43D．－43解析：选B因为x∈－π2，0，所以sinx＝－1－cos2x＝－35，所以tanx＝sinxcosx＝－34.故选B.2．若sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝12，则tanθ＝()A．1B．－1C．3D．－3解析：选D因为sinπ－θ＋cosθ－2πsinθ＋cosπ＋θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝12，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.3．若tanα＝12，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B.15C.35D．－35解析：选D∵tanα＝12，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2αcos2α＋sin2α＝tan2α－11＋tan2α＝－35.故选D.4．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是()A．tan(A＋B)＝tanCB．cos(2A＋2B)＝cos2CC．sinA＋B2＝sinC2D．sinA＋B2＝cosC2解析：选BDtan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，A不正确；cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝cos(－2C)＝cos2C，B正确；sinA＋B2＝sinπ－C2＝cosC2，C不正确，D正确．5．已知sinα－π3＝13，则cosα＋π6的值是()A．－13B.13C.223D．－223解析：选A∵sinα－π3＝13，∴cosα＋π6＝cosπ2＋α－π3＝－sinα－π3＝－13.故选A.6．若θ是三角形的一个内角，且tanθ＝－43，则sin3π2－θ＋cosπ2－θ＝()A.15B．－15C.75D．－75解析：选C由题意得，tanθ＝sinθcosθ＝－43，θ∈(0，π)，故sinθ0，cosθ0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝45，cosθ＝－35.因此，sin3π2－θ＋cosπ2－θ＝－cosθ＋sinθ＝75.二、综合练——练思维敏锐度1．已知sinα－π12＝13，则cosα＋17π12等于()A.13B.223C．－13D．－223解析：选Acosα＋17π12＝cos3π2＋α－π12＝sinα－π12＝13.故选A.2．若θ∈π2，π，则1－2sinπ＋θsin3π2－θ等于()A．sinθ－cosθB．cosθ－sinθC．±(sinθ－cosθ)D．sinθ＋cosθ解析：选A因为1－2sinπ＋θsin3π2－θ＝1－2sinθcosθ＝sinθ－cosθ2＝|sinθ－cosθ|，又θ∈π2，π，所以sinθ－cosθ0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.3．已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋α·tan(π＋α)＝()A.1517B.1517C．－817D.817解析：选Dsinπ2＋α·tan(π＋α)＝cosα·tanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝1－－15172＝817，即sinπ2＋α·tan(π＋α)＝817.故选D.4．已知2sinα－cosα＝0，则sin2α－2sinαcosα的值为()A．－35B．－125C.35D.125解析：选A由已知2sinα－cosα＝0得tanα＝12，所以sin2α－2sinαcosα＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－2tanαtan2α＋1＝－35.故选A.5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy中，点P(3，1)，将向量OP―→绕点O按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ―→，则点Q的坐标是()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－3，1)D．(－1，3)解析：选D设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋π2，由题意可得sinα＝12，cosα＝32，结合三角函数的定义与诱导公式可得xQ＝2cosβ＝2cosα＋π2＝－2sinα＝－1，yQ＝2sinβ＝2sinα＋π2＝2cosα＝3，即点Q的坐标为(－1，3)．故选D.6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1解析：选B由cos2α＝23，得cos2α－sin2α＝23，∴cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝23，即1－tan2α1＋tan2α＝23，∴tanα＝±55，即b－a2－1＝±55，∴|a－b|＝55.故选B.7．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1＋5B．1－5C．1±5D．－1－5解析：选B由题意知sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4.∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5.8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A．sinβ＝154B．cos(π＋β)＝14C．tanβ＝15D．tanβ＝155解析：选AC∵sin(π＋α)＝－sinα＝－14，∴sinα＝14，cosα＝±154，∴若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sinβ＝sinπ2－α＝cosα可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；若B符合，则cos(π＋β)＝－cosπ2－α＝－sinα＝－14，与cos(π＋β)＝14矛盾，故B不符合条件；对于C，tanβ＝15，即sinβ＝15cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±154，即C符合条件；tanβ＝155，即sinβ＝155cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±64，故D不符合条件．9．在△ABC中，若tanA＝23，则sinA＝________.解析：因为tanA＝230，所以A为锐角，由tanA＝sinAcosA＝23以及sin2A＋cos2A＝1，可求得sinA＝2211.答案：221110．已知α为第二象限角，则cosα1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.解析：原式＝cosαsin2α＋cos2αcos2α＋sinαsin2α＋cos2αsin2α＝cosα1|cosα|＋sinα1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0，所以cosα1|cosα|＋sinα1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：011．已知sin－π2－α·cos－7π2＋α＝1225，且0απ4，则sinα＝________，cosα＝________.解析：sin－π2－αcos－7π2＋α＝(－cosα)·(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0απ4，∴0sinαcosα.联立sinαcosα＝1225，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝35，cosα＝45.答案：354512．已知cosα－sinα＝5213，α∈0，π4.(1)求sinαcosα的值；(2)求sinπ2－2αcosπ4＋α的值．解：(1)∵cosα－sinα＝5213，α∈0，π4，平方可得1－2sinαcosα＝50169，∴sinαcosα＝119338.(2)sinα＋cosα＝sinα＋cosα2＝1＋2sinαcosα＝12213，∴sinπ2－2αcosπ4＋α＝cos2αcosπ4＋α＝cosα－sinα·cosα＋sinα22cosα－sinα＝2(cosα＋sinα)＝2413.