第2部分 专题6 强基专题6　利用结构相同构造函数 课件（共37张PPT）

专题六函数、导数和不等式强基专题6利用结构相同构造函数第二部分核心专题师生共研在幂函数、指数函数、对数函数的学习过程中，为了比较幂值的大小，同底的构造指数函数、同指的构造幂函数，对数值大小比较也如此.究其实质，都是找到数式中的“结构”相同之处，将变数视为“变量”，从而构造出函数.【例】(1)(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0(2)已知实数a，b∈(0,2)，且满足a2－b2－4＝42b－2a－4b，则a＋b的值为________．(1)A(2)2[(1)由2x－2y＜3－x－3－y移项变形为2x－3－x＜2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，因为f(x)＝2x－3－x单调递增，易知f(x)是定义在R上的增函数，故由2x－3－x＜2y－3－y，可得x＜y，所以y－x＞0⇒y－x＋1＞1，从而ln(y－x＋1)＞0，故选A．(2)由a2－b2－4＝42b－2a－4b，变形得：a2＋2a＝22－b＋(b－2)2，即a2＋2a＝(2－b)2＋22－b，设f(x)＝x2＋2x，则f(x)在(0,2)上递增，因为a，b∈(0,2)，所以2－b∈(0,2)，且f(a)＝f(2－b)，所以a＝2－b，即a＋b＝2.]构造函数的策略(1)直接构造：如果关系式的左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当．(2)变形构造：如果关系式的左右形式少有差异，可适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用结构相同，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题．1234[跟进训练]1．若2－x－2y＞lnx－ln(－y)(其中x＞0)，则()A．y－x＞0B．x－y＞0C．x＋y≤0D．x＋y＞01234B[显然－y＞0，又x＞0，则x－y＞0，故A错误，B正确．由2－x－2y＞lnx－ln(－y)移项变形为2－x－lnx＞2y－ln(－y)，设f(x)＝2－x－lnx(x＞0)，易知f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，2－x－lnx＞2y－ln(－y)，即f(x)＞f(－y)，可得x＜－y，故x＋y＜0.故C、D错误，故选B．]12342．(2021·广东佛山市二模)已知不相等的两个正实数x，y满足x2－y＝4(log2y－log4x)，则下列不等式中不可能成立的是()A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜yD．1＜y＜x1234B[由已知x2－y＝4(log2y－log4x)，因为2log4x＝log2x，所以原式可变形x2＋2log2x＝y＋4log2y令f(x)＝x2＋2log2x，g(x)＝x＋4log2x，函数f(x)与g(x)均为(0，＋∞)上的增函数，且f(x)＝g(y)，且f(1)＝g(1)，当x＞1时，由f(x)＞1，则g(y)＞1，可得y＞1，当x＜1时，由f(x)＜1，则g(y)＜1，可得y＜1，1234要比较x与y的大小，只需比较g(x)与g(y)的大小，g(x)－g(y)＝g(x)－f(x)＝x＋4log2x－x2－2log2x＝x－x2＋2log2x，设h(x)＝x－x2＋2log2x(x＞0)，则h′(x)＝1－2x＋2xln2，h″(x)＝－2－2x2ln2＜0，故h′(x)在(0，＋∞)上单调递减，又h′(1)＝－1＋2ln2＞0，h′(2)＝－3＋1ln2＜0，1234则存在x0∈(1,2)使得h′(x)＝0，所以当x∈(0，x0)时，h′(x)＞0，当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＜0，又因为h(1)＝0，h(x0)＞h(1)＝0，h(4)＝－12＋4＝－8＜0，所以当x＜1时，h(x)＜0，当x＞1时，h(x)正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h(x)＜0，所以g(x)＜g(y)＜g(1)，故x＜y＜1，1234当x＞1，y＞1时，h(x)正负不定，所以g(x)与g(y)的正负不定，所以x＞y＞1，x＜y＜1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选B．]12343．等式8x＋13＋10x＋1－x3－5x＞0的解集是________．{x|x＜－2或－1＜x＜1}[原不等式可化为：2x＋13＋5×2x＋1＞x3＋5x.构造函数f(x)＝x3＋5x，因为x3、5x均为单调递增，故f(x)在R上单调递增，1234所以2x＋1＞x，解之得x＜－2或－1＜x＜1.所以原不等式解集是{x|x＜－2或－1＜x＜1}．]12344．已知函数f(x)＝3x－3－x，f(1－2log3t)＋f(3log3t－1)≥log13t，则t的取值范围是_______________．[1，＋∞)[∵log13t＝－log3t＝－(1－2log3t)－(3log3t－1)，∴f(1－2log3t)＋f(3log3t－1)≥lo13t可变形为：f(3log3t－1)＋(3log3t－1)≥(2log3t－1)－f(1－2log3t)．1234∵f(x)＝3x－3－x是奇函数，∴－f(1－2log3t)＝f(2log3t－1)，∴f(3log3t－1)＋(3log3t－1)≥f(2log3t－1)＋(2log3t－1)．令F(x)＝f(x)＋x＝3x－3－x＋x，因为3x、－3－x、x均单调递增，所以F(x)单调递增．∴3log3t－1≥2log3t－1，即log3t≥0，解之得t≥1.所以t的取值范围是[1，＋∞)．]