第3部分 深化1 第1讲　数学文化题 课件（共27张PPT）

深化一文化创新第1讲数学文化题第三部分学科素养考前深化数学是人类文化的重要组成部分，《普通高中数学课程标准2017年版》下文简称《课标2017年版》明确提出要在高中数学课程中“强调数学与生活以及其他学科的联系，注重数学文化的渗透”，并在高考命题建议的命题原则章节中，强调了考查内容要“融入数学文化”.自《课标2017年版》颁布以来，“数学文化”在课程、教材、教学和高考中都有体现.新的时代背景下，数学文化内在包含的数学思想、精神、语言、方法和所涉及的数学内、外部人文活动，也使其成为数学教学落实“立德树人”根本任务的重要途径.考点1渗透数学文化的三角函数题【例1】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14ab2－a2＋b2－c222.根据此公式，若acosB＋(b＋3c)cosA＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A．2B．22C．6D．23A[由acosB＋(b＋3c)cosA＝0，可得sinAcosB＋cosAsinB＋3sinCcosA＝0，即sin(A＋B)＋3sinCcosA＝0，即sinC(1＋3cosA)＝0，因为sinC≠0，所以cosA＝－13，由余弦定理可得a2－b2－c2＝－2bccosA＝23bc＝2，所以bc＝3，由△ABC的面积公式可得S＝14bc2－c2＋b2－a222＝14×32－1＝2.故选A．]【点评】我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝pp－ap－bp－c，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．考点2渗透数学文化的数列题【例2】(2021·广东六校第三次联考)大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图所示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，此数列记为an，其前n项的和记为Sn，则下列选项错误的是()A．a20＝200B．a29＝420C．S19＝1200D．S30＝4720C[根据题意：当n为奇数时，an＝12(n2－1)，当n为偶数时，an＝12n2，对于A：当n＝20时，a20＝12×202＝200，故A正确；对于B：当n＝29时，a29＝12(292－1)＝420，故B正确；对于D：当第n项为偶数时，Sn＝12(12－1)＋12×22＋12(32－1)＋…＋12[(n－1)2－1]＋12n2＝12(12＋22＋…＋n2)－n4＝n(n＋1)(2n＋1)12－n4＝n(n＋2)(2n－1)12，所以S30＝30(30＋2)(2×30－1)12＝4720，故D正确；对于C：当第n项为奇数时，Sn＝Sn＋1－an＋1＝(n＋1)(n＋3)(2n＋1)12－12(n＋1)2＝(n－1)(n＋1)(2n＋3)12，所以S19＝(19－1)(19＋1)(2×19＋3)12＝1230，故C错误．故选C．]【点评】本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．其次，探索了数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例．考点3渗透数学文化的统计与概率题【例3】(2021·河北保定二模)河图洛书是华夏文化的源头，两幅图案玄奥神妙，博大精深．它始于上古时期，伏羲就是根据河图推演出了先天八卦图，后写出了《易经》．河图上，排列成数阵的白点和黑点，蕴藏着无穷的奧秘．白点表示奇、阳，黑点表示偶、阴．此一白一黑，既含阴阳、天地运行之道，又寓五行、四象变化之理．一六在后，象北方壬癸水，玄武星象；三八在左，象东方甲乙木，青龙星象；二七在前，象南方丙丁火，朱雀星象；四九在右，象西方庚辛金，白虎星象；五十在中，象中央戊己土，表示时空奇点；而中间五点，又象太极含四象；中一点，又象太极含一气．若从这十个点数中任选两个数，则选取的恰好是两个奇数的概率为()A．118B．19C．718D．29D[由题意得：后方点数为1,6，左侧为3,8，前方为2,7，右侧为4,9，中间为5,10，即从1,2,3，…，10中任取2个，共有45种可能，取出2个奇点共有10种可能，则选取的恰好是两个奇数的概率为P＝29.故选D．]【点评】弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点；二是将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．考点4渗透数学文化的立体几何题【例4】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．已知曲线C：y＝f(x)＝x2，直线l为曲线C在点(1,1)处的切线．如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体：图1是底面直径和高均为1的圆锥；图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图3是底面边长和高均为1的正四棱锥图4是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积相等的是()A．图1B．图2C．图3D．图4A[由题意可知，几何体Γ是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的点的横坐标为x2.由f(x)＝x2，可得f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以曲线C在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，所以x21＝y，x2＝y＋12，所以几何体Γ在等高处的横截面面积S＝πx22－πx21＝π·y－122.图1中的圆锥高为1，底面半径为12，易知该圆锥可由直线y＝2x＋1绕y轴旋转得到，其横截面面积S′＝πx2＝π·y－122，所以几何体Γ和图1中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，同理可知几何体Γ和图2,3,4中的几何体的体积均不相等，故选A．]【点评】依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．考点5数学文化与现代科学【例5】2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射．嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段．在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为200公里，远月点(离月面最远的点)约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为()A．0.32B．0.48C．0.68D．0.82C[由题意得a－c＝200＋1740a＋c＝8600＋1740，解得a＝6140c＝4200，所以离心率e＝ca＝42006140≈0.68，故选C．]【点评】命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．