【新高考复习】第七节 函数与方程 教案

第七节函数与方程核心素养立意下的命题导向1.通过判断具体函数零点的个数或零点所在区间，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．通过函数零点或方程根的存在情况求参数的取值范围，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数_2__1__0_[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(判断零点所在区间)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1,2)B．(2,3)C.1e，1和(3,4)D．(4，＋∞)答案：B2．(求函数零点个数)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案：B3．(求函数零点)函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．答案：－2，2，1,2二、易错点练清1．(忽视零点的概念与性质)给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④2．(忽视区间端点值)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．答案：－1，－12考点一函数零点所在区间的判断[典例]函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln30，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故选C.法二：数形结合函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在区间转化为g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．[答案]C[方法技巧]判断函数零点(方程的根)所在区间的方法解方程法当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上定理法利用零点存在性定理进行判断数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断[针对训练]1．方程13x＝x12的解所在的区间是()A.0，13B.13，12C.12，23D．23，1解析：选B令函数f(x)＝13x－x12，易知函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数．又f(0)＝10，f13＝1313－13120，f12＝1312－12120，由函数零点的存在性定理可知函数f(x)＝13x－x12的零点所在的区间是13，12.即方程13x＝x12的解所在的区间是13，12.故选B.2．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点在k2，k＋12(k∈Z)内，那么k＝________.解析：∵f′(x)＝1x＋20，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f52＝ln52－10，f(3)＝ln30，∴f(x)的零点在52，3内，则整数k＝5.答案：5考点二函数零点个数的判断[典题例析](1)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x0，2x＋1，x≤0的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[解析](1)令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0，得x＝0，π或2π，由cosx＝1，得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．(2)依题意，当x0时，作出函数y＝lnx与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.(3)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.[答案](1)B(2)D(3)C[方法技巧]判断函数零点个数的方法直接法直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；或将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数性质法利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数[针对训练]1．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x.在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点．因此函数f(x)有2个零点．故选B.2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是()A．2B．3C．4D．5解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f12·f(2)0，所以当x0时函数f(x)有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x0时，函数f(x)也有1个零点．因此函数f(x)一共有3个零点．故选B.考点三函数零点的应用问题考法(一)根据函数零点个数求参数[例1](2020·天津高考)已知函数f(x)＝x3，x≥0，－x，x0.若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是()A.－∞，－12∪(22，＋∞)B.－∞，－12∪(0,22)C．(－∞，0)∪(0,22)D．(－∞，0)∪(22，＋∞)[解析]令h(x)＝|kx2－2x|，函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，即y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点．当k＝－12时，h(x)＝－12x2－2x＝12x2＋2x，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)，y＝h(x)的图象如图1.由图可知y＝f(x)与y＝h(x)的图象恰有4个不同交点，即函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|恰有4个零点，排除A、B；当k＝1时，h(x)＝|x2－2x|，作出y＝h(x)与y＝f(x)的图象如图2.此时，函数y＝f(x)与y＝h(x)的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.[答案]D考法(二)根据函数零点存在情况求参数[例2]已知函数f(x)＝0，x≤0，ex，x0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是______________．[解析]函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝x，x≤0，ex＋x，x0的大致图象(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．[答案](－∞，0]∪(1，＋∞)考法(三)根据零点的范围求参数[例3]若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．[解析]依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f－1·f00，f1·f20，即m≠2，[m－2－m＋2m＋1]2m＋10，[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]0，解得14m12.[答案]14，12[方法技巧]由函数零点求参数范围的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域的问题再求解即可数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解[针对训练]1．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：选C因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)0，解得0a3，故选C.2．(多选)已知函数f(x)＝x－2，x∈－∞，0，lnx，x∈0，1，－x2＋4x－3，x∈[1，＋∞，若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是()A．－1B．0C．1D．2解析：选ABC令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，只需两函数图象有两个交点即可．由图可知当m＝－1,0,1时，两函数图象均有两个交点，故选A、B、C.3．方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．解析：若方程log12(a－2x)＝2＋x有解，则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，又1412x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时取等号，故a的最小值为1.答案：1创新思维角度——融会贯通学妙法应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．[典例]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)[方法演示]本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知