【新高考复习】第二节 第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用 教案

第2课时精研题型明考向——函数的性质及其应用一、真题集中研究——明考情1．(2020·新高考全国卷Ⅱ·考查复合函数的单调性及定义域)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)解析：选D∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，∴a2－4a－5≥0，a≥2，∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．2．(2020·全国卷Ⅱ·考查函数的单调性、奇偶性)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞单调递增B．是奇函数，且在－12，12单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12单调递减解析：选D由|2x＋1|0，|2x－1|0⇒x≠±12，∴函数f(x)的定义域为x|x≠±12，x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈－12，12时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝22x＋1－－21－2x＝41－4x20，∴f(x)在－12，12单调递增，排除B；当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)，则f′(x)＝－2－2x－1－－21－2x＝41－4x20，∴f(x)在－∞，－12单调递减，∴D正确．3．(2020·新高考全国卷Ⅰ·考查函数的性质及解不等式)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]解析：选D法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x0，∴－1≤x0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)0，不符合题意，排除A、C.故选D.4．(2019·全国卷Ⅱ·考查由函数的奇偶性求解析式)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：选D当x0时，－x0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.5．(2019·全国卷Ⅲ·考查抽象函数的奇偶性、单调性及比较大小)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f232f223B．flog314f223f232C．f232f223flog314D．f223f232flog314解析：选C因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34)．又因为log3412232320且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(232f(223)flog314.故选C.6．(2020·江苏高考·考查由函数的奇偶性求值)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x23，则f(－8)的值是________．解析：由函数f(x)是奇函数得f(－8)＝－f(8)＝－823＝－(23)23＝－4.答案：－4[把脉考情]常规角度1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数的单调性、求单调区间，利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等；2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求值等；3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期性的判断，利用周期性求值等创新角度函数的性质与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题二、题型精细研究——提素养题型一函数单调性的判断及应用考法(一)确定函数的单调性及求单调区间[例1](1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞B.1，32和[2，＋∞)C．(－∞，1]和32，2D.－∞，32和[2，＋∞)(2)函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．(3)讨论函数f(x)＝axx2－1(a0)在(－1,1)上的单调性．[解析](1)f(x)＝|x2－3x＋2|＝x2－3x＋2，x≤1或x≥2，－x2－3x＋2，1x2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和32，2.故选B.(2)令u＝x2＋x－6，则y＝x2＋x－6可以看作是由y＝u与u＝x2＋x－6复合而成的函数．令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝x2＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．答案：(1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3](3)法一：定义法设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1x1x21，∴x2－x10，x1x2＋10，(x21－1)·(x22－1)0.又a0，∴f(x1)－f(x2)0，故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．法二：导数法f′(x)＝ax′x2－1－axx2－1′x2－12＝ax2－1－2ax2x2－12＝a－x2－1x2－12＝－ax2＋1x2－12.∵a0，x∈(－1,1)，∴f′(x)0.∴f(x)在(－1,1)上是减函数．[方法技巧]确定函数单调性的常用方法定义法先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论图象法若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性导数法先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性考法(二)比较大小[例2]函数f(x)＝ex＋e－xex－e－x，若a＝f－12，b＝f(ln2)，c＝fln13，则有()A．cbaB．bacC．cabD．bca[解析]∵f(x)＝ex＋e－xex－e－x，∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，易知x0时，f(x)0，x0时，f(x)0，又∵ln20，－120，ln130，∴b0，a0，c0.又－12＝－lne，ln13＝－ln3，且－lne－ln3，∴－12ln13，∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f－12fln13，即ca，∴bca，故选D.[答案]D[方法技巧]利用函数的单调性比较大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．考法(三)解函数不等式[例3]定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，x1≠x2，且f(a2－a)f(2a－2)，则实数a的取值范围为()A．[－1,2)B．[0,2)C．[0,1)D．[－1,1)[解析]因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2a2－a≤2，解得0≤a1，故选C.[答案]C[方法技巧]在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．考法(四)利用单调性求参数的取值范围[例4](1)已知函数y＝log12(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．(2)设函数f(x)＝－x2＋4x，x≤4，log2x，x4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[解析](1)设u＝6－ax＋x2，∵y＝log12u是减函数，∴函数u在[1,2]上是减函数．∵u＝6－ax＋x2，对称轴为直线x＝a2，∴a2≥2，且u0在[1,2]上恒成立．∴a2≥2，6－2a＋40，解得4≤a5，∴实数a的取值范围为[4,5)．(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.[答案](1)[4,5)(2)(－∞，1]∪[4，＋∞)[方法技巧]利用函数单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意两段端点值的大小．[针对训练]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝－x2B．f(x)＝3－xC．f(x)＝ln|x|D．f(x)＝x＋sinx解析：选C选项A中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项B中的函数是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，故不正确；选项C中的函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；选项D中的函数是奇函数，在R上单调递增，故不正确．故选C.2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()A．bcaB．abcC．bacD．acb解析：选C因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f(2)＝f(2－2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)．因为－12－20，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以bac.故选C.3．已知函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上是增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lgx)g(1)，则x的取值范围是()A．(0,10)B．(10，＋∞)C.110，10D.0，110∪(10，＋∞)解析：选C∵g(－x)＝－f(|－x|)＝g(x)，∴g(x)是偶函数，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数．∵g(lgx)g(1)，∴g(|lgx|)g(1)，∴|lgx|1，∴110x10，故选C.4．函数f(x)＝ax，x1，4－a2x＋2，x≤1，满足对任意的实数x1≠x2都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为________．解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即a1，4－a20，a≥4－a2＋2，解得a∈[4,8)．答案：[4,8)