【新高考复习】课时跟踪检测（四十七） 直线与圆锥曲线的位置关系 作业

课时跟踪检测（四十七）直线与圆锥曲线的位置关系一、综合练——练思维敏锐度1．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0解析：选A因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为103，则|AB|＝()A.133B．143C．5D．163解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋103＝163.3．(2021·佛山模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为()A．2B．32C.3D．2解析：选D∵过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝bax平行，∴ba＝1，由e＝ca＝1＋b2a2＝2.4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3D．y＝2x－3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝4x1，①y22＝4x2，②①－②得y21－y22＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.5．(多选)设椭圆的方程为x22＋y24＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是()A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为13，43D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝423解析：选BD对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－42＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M13，43，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程x22＋y24＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－43，所以|AB|＝1＋12－43－0＝423，所以D项正确．6.如图，过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若13k12，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.14，34B．23，1C.12，23D．0，12解析：选C由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝a2－c2a，于是k＝a2－c2aa＋c.又13k12，所以13a2－c2aa＋c12，化简可得131－e21＋e12，从而可得12e23，选C.7．(2021·漳州质检)已知双曲线E：x24－y22＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为12，－1，则直线l的方程为()A．4x＋y－1＝0B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x214－y212＝1，x224－y222＝1，两式相减得x21－x224＝y21－y222，即y1－y2x1－x2＝12×x1＋x2y1＋y2.又线段AB的中点坐标是12，－1，因此x1＋x2＝2×12＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，x1＋x2y1＋y2＝－12，y1－y2x1－x2＝－14，即直线AB的斜率为－14，直线l的方程为y＋1＝－14x－12，即2x＋8y＋7＝0.8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB＝()A．22B．3C.6D．36解析：选A由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，y2＝4x，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2k＋4k－2k＝4k，所以线段AB的中点为1＋2k2，2k，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k＝－1kx－1－2k2.因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0)，所以0－2k＝－1k5－1－2k2，解得k＝±1，所以直线AB的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0，所以点O到直线AB的距离d＝|－1|1＋1＝22.又|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1x1＋x22－4x1x2＝2×36－4＝8，所以S△AOB＝12×22×8＝22，故选A.9．已知椭圆x29＋y25＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：如图，记椭圆的右焦点为F′，取PF的中点为M，由题意知，a＝3，b＝5，∴c＝2，连接OM，PF′，则|OM|＝|OF|＝2，又∵M为PF中点，O为FF′中点，∴|PF′|＝2|OM|，PF′∥OM，∴|PF′|＝4，又∵P在椭圆上，∴|PF′|＋|PF|＝6，∴|PF|＝2，在△PFF′中，|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，连接F′M，则F′M⊥PF，∴|F′M|＝|FF′|2－|PM|2＝16－1＝15，∴kPF＝tan∠PFF′＝|F′M||FM|＝151＝15.答案：1510．已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组y＝2x－1，x25＋y24＝1，消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝53，x1x2＝0.则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋22×532－4×0＝553.答案：55311．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以y21＝4x1，y22＝4x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝012．已知过抛物线y2＝42x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，AF―→＝3FB―→，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为________．解析：设直线AB的方程为x＝my＋2，x＝my＋2与y2＝42x联立可得y2－42my－8＝0，yAyB＝－8，∵AF―→＝3FB―→，∴yB＝－13yA，y2A＝24⇒yA＝±26，则24＝42xA，可得xA＝32，AM＝xA＋p2＝32＋2＝42，四边形AMCF的面积为12(CF＋AM)×|yA|＝12×(22＋42)×26＝123.答案：12313．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．14．(2020·天津高考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3OC―→＝OF―→，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.所以椭圆的方程为x218＋y29＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为y＝kx－3.联立y＝kx－3，x218＋y29＝1，消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝12k2k2＋1.依题意，可得点B的坐标为12k2k2＋1，6k2－32k2＋1.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为()0，－3，所以点P的坐标为6k2k2＋1，－32k2＋1.由3OC―→＝OF―→，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为－32k2＋1－06k2k2＋1－1＝32k2－6k＋1.又因为AB⊥CP，所以k·32k2－6k＋1＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝12或k＝1.所以直线AB的方程为y＝12x－3或y＝x－3.二、自选练——练高考区分度1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是()A．C，D两点的纵坐标之积为－4B．点Q在定直线x＝－2上C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP解析：选AB设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得：y2－2my－4＝0.则y1y2＝－4，故A正确；由题得A(2,2)，B(2，－2)，直线AC的方程为y－2＝2y1＋2(x－2)，直线BD的方程为y＋2＝2y2－2(x－2)，消去y得x＝2y1y2－y1＋y2y1－y2＋4，将y1y2＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为a22，a，则MP＝a22－22＋a2＝14a2－22＋3.当a2＝2时，MP取得最小值3，又PA＝23，故C错误；因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．2．过抛物线y2＝mx(m0)的焦点F作斜率为22的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，若|MF|＝2，则|AB|＝________.解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，取AB中点C，连接MC，如图．根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，∴|MF|2＝|AF|·|BF|，∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为22，根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，