第三节 等比数列及其前n项和 课件

第三节等比数列及其前n项和核心素养立意下的命题导向1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合具体问题的计算，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．3．与实际应用问题相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．[理清主干知识]1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于_______非零常数，那么这个数列叫做等比数列．数学语言表达式：anan－1＝__(n≥2，q为非零常数)．(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的_________，其中G＝_____.同一个q等比中项±ab2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_______；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝_______＝a1－anq1－q.a1qn－1a11－qn1－q3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为___.(2)若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(3)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝______.(4)当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为__.qmam·anqn[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(求公比)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于()A．－12B．－2C．2D.12解析：由题意知q3＝a5a2＝18，即q＝12.答案：D2．(项的性质的应用)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝()A．32B．64C．128D．256解析：∵a2·a4＝a23＝16，∴a3＝4(负值舍去)，①又S3＝a1＋a2＋a3＝a3q2＋a3q＋a3＝7，②联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－23或q＝2，∵an0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.答案：C3．(前n项和性质的应用)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64解析：由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：C二、易错点练清1．(忽视判断项的符号)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是()A．－2B．－2C．±2D.2解析：根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－40，a3a70，得a30，a70，即a50，由a3a7＝a25，得a5＝－a3a7＝－2.答案：B2．(忽视等比数列的项不为0)已知x,2x＋2,3x＋3是等比数列的前三项，则x的值为________．解析：由题意，得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，x,2x＋2,3x＋3分别为－1,0,0，不构成一个等比数列，故x≠－1；当x＝－4时，x,2x＋2,3x＋3分别为－4，－6，－9，能构成一个等比数列，所以x的值为－4.答案：－43．(多个结果不注意验证)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且1a1－1a2＝2a3，S6＝63，则{an}的通项公式为an＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q.由已知，有1a1－1a1q＝2a1q2，即1－1q＝2q2，解得q＝2或q＝－1.若q＝－1，则S6＝0，与S6＝63矛盾，不符合题意，∴q＝2，∴S6＝a11－261－2＝63，得a1＝1，∴an＝2n－1.答案：2n－14．(忽视对公比的讨论)设a∈R，n∈N*，则1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝________.解析：当a＝1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝n＋1；当a≠0且a≠1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝1－an＋11－a；当a＝0时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝1满足上式．所以1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝n＋1，a＝1，1－an＋11－a，a≠1.答案：n＋1，a＝1，1－an＋11－a，a≠1考点一等比数列的基本运算[典例](1)(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Snan＝()A．2n－1B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1(2)(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2B．3C．4D．5[解析](1)法一：设等比数列{an}的公比为q，则由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，a6－a4＝a1q5－a1q3＝24解得a1＝1，q＝2，所以Sn＝a11－qn1－q＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以Snan＝2n－12n－1＝2－21－n，故选B.法二：设等比数列{an}的公比为q，因为a6－a4a5－a3＝a41－q2a31－q2＝a4a3＝2412＝2，所以q＝2，所以Snan＝a11－qn1－qa1qn－1＝2n－12n－1＝2－21－n，故选B.(2)令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即an＋1an＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×2×1－2101－2＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧](1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.[针对训练]1．(2021·湖北八校联考)已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝()A.43B．－43C．－83D．－4解析：∵{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，∴a26＝4a6，解得a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，则b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－83，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×－83＝－43.故选B.答案：B2．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则()A．q＝2B．an＝2nC．S10＝2047D．an＋an＋1an＋2解析：由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确；Sn＝2×2n－12－1＝2n＋1－2，所以S10＝2046，选项C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an3an，选项D正确．答案：ABD3．等比数列{an}的前n项和为Sn.若4a1,2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，a1＝1，所以4a2＝4a1＋a3，即4q＝4＋q2，解得q＝2.因此，S7＝a11－q71－q＝1－271－2＝127.答案：127考点二等比数列的判定与证明[典例](2021年1月新高考八省联考卷)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；(2)若a1＝12，a2＝32，求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．(2)因为a1＝12，a2＝32，所以a2＋a1＝2.又由(1)知数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列，所以an＋1＋an＝(a2＋a1)·3n－1＝2·3n－1.于是an＋1－12×3n＝－an＋12×3n－1，又a2－32＝0，所以an－3n－12＝0，即an＝3n－12，而a1＝12也符合．于是an＝12×3n－1为所求．[方法技巧]等比数列的4种常用判定方法方法解读适用题型定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列大题证明通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列选择填空[提醒](1)若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时，要注意对n＝1时的情况进行验证．[针对训练]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.考点三等比数列的性质及应用[典例](1)(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30D．32(2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝19，S3＝727，则a1a2…an的最小值为()A.4272B.4273C.4274D.4275[解析](1)法一：设等比数列{an}的公比为q，所以a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝a1＋a2＋a3qa1＋a2＋a3＝q＝2.由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则bn＋1bn＝an＋1＋an＋2＋an＋3an＋an＋1＋an＋2＝an＋an＋1＋an＋2qan＋an＋1＋an＋2＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32，故选D.(2)设等比数列{an}的公比为q，则q0，由题意得a3＝S3－S2＝427，则有a1q2＝427，a1＋a1q＝