第二节 两条直线的位置关系 课件

第二节两条直线的位置关系核心素养立意下的命题导向1.结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养．3．结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔_______.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔__________.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.k1＝k2k1·k2＝－12．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝__________________点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________两平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_________x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(由平行关系求直线方程)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故c＝－1，所求直线方程为x－2y－1＝0.答案：A2．(点到直线的距离)已知点(a,2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1解析：由题意知|a－2＋3|2＝1，∴|a＋1|＝2，又a0，∴a＝2－1.答案：C3．(点关于线对称)点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(－a－1，－b－1)B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b)D．(－b，－a)解析：设对称点为(x′，y′)，则y′－bx′－a×－1＝－1，x′＋a2＋y′＋b2＋1＝0，解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.答案：B4．(两直线的交点)过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________________．解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－45，故所求直线方程为x－3y＋4－45(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝0二、易错点练清1．(忽视两平行直线系数不一致)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是()A.85B．2C.115D.75解析：依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2.答案：B2．(忽视两直线重合)若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________.解析：因为直线l1的斜率k1＝－1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠－1，所以a＝1.答案：13．(忽视平行关系的直线斜率不存在)已知直线(m＋1)x＋(2m－1)y＝3与(3m－1)x－(2m2－11m＋5)y＝5平行，则实数m的值为________．解析：当m≠12时，由直线平行可知m＋13m－1＝2m－1－2m2－11m＋5≠35，解得m＝－2或m＝3，当m＝12时，两条直线都垂直于x轴也符合．故m＝12或m＝－2，或m＝3.答案：12，－2,3考点一两直线的平行与垂直[典题例析](1)(多选)直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋1＝0，则下列说法正确的是()A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3B．若l1∥l2，则m＝－1C．若l1⊥l2，则m＝－12D．若l1⊥l2，则m＝12(2)已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(3)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．[解析](1)∵l1∥l2，∴mm－2＝3，m－2≠－1，解得m＝－1或m＝3，经检验符合题意，∴A正确．∵l1⊥l2，∴(m－2)×1＋3m＝0，解得m＝12，∴D正确．(2)由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.(3)l1的斜率k1＝3a－01－－2＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－－1a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.[答案](1)AD(2)A(3)1或0[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)[提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．[针对训练]1．(2021·长沙明德中学模拟)“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若l1∥l2，则mm＋1＝6，4m≠2×－2，即m2＋m－6＝0，m≠－1，解得m＝－3或2.因此“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．答案：B2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则mn的取值范围为________．解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以mn＝mm2＋2m＝1m＋2，则0＜1m＋2＜12，故mn的取值范围为0，12.答案：0，123．若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．解析：因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m＝3m－1m或者m＝0，所以m＝16或0.答案：0或16考点二两直线的交点与距离问题[典例](1)经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________.(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．[解析](1)由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0，得x＝1，y＝3，∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.[答案](1)x＋2y－7＝0(2)x＋3y－5＝0或x＝－1[方法技巧]1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式解题的注意点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．[针对训练]1．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B.2C.3D．2解析：法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝|k＋1|k2＋1＝k2＋2k＋1k2＋1＝1＋2kk2＋1.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝1＋2kk2＋1＝1＋2k＋1k，要使d最大，需k0且k＋1k最小，∴当k＝1时，dmax＝2，故选B.法二：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为2.答案：B2．(2021·烟台调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是()A．－23B.23C．－32D.32解析：由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得M2k＋1，1，Nk－6k－1，－6k＋1k－1，又因为MN的中点是P(1，－1)，由中点坐标公式得2k＋1＋k－6k－12＝1，1＋－6k＋1k－12＝－1，解得k＝－23.答案：A3．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0考点三两直线的对称问题考法(一)点关于点的对称[例1]过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．[解析]设直线l1与直线l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入直线l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.[答案]x＋4y－4＝0[方法技巧]若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1，y＝2b－y1，进而求解．考法(二)点关于线的对称[例2]已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．[解析]设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以