【新高考复习】课时跟踪检测（四十四） 椭圆 作业

课时跟踪检测（四十四）椭圆一、基础练——练手感熟练度1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.()A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析：选AD∵mx2＋ny2＝1，∴x21m＋y21n＝1，若m＞n＞0，∴0＜1m＜1n，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝1n，C是圆，半径为1n，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝1n，∴y＝±nn，则C是两条直线，D正确．故选A、D.2．(2019·北京高考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b解析：选B因为椭圆的离心率e＝ca＝12，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.3．已知焦点在y轴上的椭圆x210＋y2m＝1的长轴长为8，则m＝()A．4B．8C．16D．18解析：选C椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D．x212＋y24＝1解析：选A∵△AF1B的周长为43，∴由椭圆的定义可知4a＝43，∴a＝3，∵e＝ca＝33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为x23＋y22＝1，故选A.5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆x2m2＋1＋y2m2＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝π3，则m＝()A．1B．2C.3D．2解析：选C∵c＝m2＋1－m2＝1，b＝m，由∠F1AF2＝π3，得∠F1AO＝π6，∴tan∠F1AO＝1m＝33，解得m＝3，故选C.6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D．3－1解析：选D由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为()A.x24＋y2＝1B．y216＋x24＝1C.x24＋y2＝1或y216＋x24＝1D．x24＋y2＝1或y24＋x2＝1解析：选C由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为y216＋x24＝1，故选C.2．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5解析：选A连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.x22＋y24＝1B．x2＋y26＝1C.x26＋y2＝1D．x28＋y25＝1解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为x24＋y29＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则c＝5.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋y26＝1.4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B．12C.23D．34解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知|－bc|b2＋c2＝14×2b，解得ca＝12，即e＝12.故选B.5．(多选)设椭圆x29＋y23＝1的右焦点为F，直线y＝m(0m3)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝2时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：选AD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；将y＝2与椭圆方程联立，可解得A(－3，2)，B(3，2)，又∵F(6，0)，∴BA―→·BF―→＝(－23，0)·(6－3，－2)＝6－620，∴△ABF不是直角三角形，C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则||OB的值为()A.34B．32C.54D．52解析：选A由AF2⊥F1F2，可知||AF2＝b2a＝32，∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴||OB＝12||AF2＝34.7．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋y24＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为()A．2B．4C．8D．16解析：选B由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，∴a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值(如图)，而|F2M|＋|MF1|＝2a＝4，∴|NF2|的最大值为4.故选B.8．(多选)已知椭圆C：x2a＋y2b＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12D．若PF1―→＝F1Q―→，则椭圆C的长轴长为5＋17解析：选ACD因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2a－|QF2|＋|QP|≥2a－|PF2|＝2a－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，12＋11＞1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以1a＋1a－1＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞3＋52＝6＋254＝1＋524，所以a＞1＋52，所以e＝1a＜5－12，所以椭圆C的离心率的取值范围为0，5－12，故C正确；若PF1―→＝F1Q―→，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以9a＋1b＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝11＋852＝22＋2854＝5＋1724，所以a＝5＋172，所以椭圆C的长轴长为5＋17，故D正确．故选A、C、D.9．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案：x225＋y216＝110．设F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，又知△PF1F2的面积为9，∴12|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b0，∴b＝3，∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝111．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝12|MF1|＝a，由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，即c2＝34a2，∴e＝ca＝32.答案：3212．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．解析：∵∠F1AF2＝90°，∴a＝2b，即椭圆方程为x22b2＋y2b2＝1.设M()m，n，A()0，b，B()0，－b，且m22b2＋n2b2＝1，即n2－b2＝－m22，kAMkBM＝n－bm·n＋bm＝n2－b2m2＝－m22m2＝－12，又kAM＝－1，∴kBM＝12.答案：1213．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：x225＋y2m2＝1(0m5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解：(1)由题设可得25－m25＝154，解得m2＝2516，所以C的方程为x225＋y22516＝1.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－1yQ(x－5)，所以|BP|＝yP1＋y2Q，|BQ|＝1＋y2Q.因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．|P1Q1|＝10，直线P1Q1的方程为y＝13x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为102，故△AP1Q1的面积为12×102×10＝52；|P2Q2|＝130，直线P2Q2的方程为y＝79x＋103，点A到直线P2Q2的距离为13026，故△AP2Q2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ的面积为52.14．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2―→＝2F2B―→，AF1―→·AB―→＝32，求