【新高考复习】第一节 两个计数原理、排列与组合 教案

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布列第一节两个计数原理、排列与组合核心素养立意下的命题导向1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m·n种不同的方法2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组3．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示．(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Ann表示n个不同元素的全排列数．4．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！；(2)Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质(1)0！＝1；Ann＝n！；(2)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(分类加法计数原理的应用)从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为()A．12种B．7种C．4种D．3种解析：选B由题意知，有4＋3＝7种．2．(分步乘法计数原理的应用)将3张不同的武汉军运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是()A．2160B．720C．240D．120解析：选B分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．3．(组合问题)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18B．24C．30D．36解析：选C法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.故选C.4．(排列问题)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种解析：选B可先排C，D，E三人，共有A35种，剩余A，B两人只有一种排法，故满足条件的排法共有A35×1＝60(种)．二、易错点练清1．(混淆两个计数原理)一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，则从两个口袋中各取1个小球，有________种不同的取法．解析：分两步完成，第一步从第1个口袋内任取1个小球有5种方法，第二步从第二个口袋内取1个小球有4种方法，根据分步乘法计数原理得到不同的取法种数是5×4＝20种．答案：202．(分步、分类时产生重复或遗漏)从1,2,3，…，10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有________个．解析：根据构成等差数列的公差，分为公差为±1，±2，±3，±4四类，公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共有6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个，由分类加法计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个．答案：403．(分类不清)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C35种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：350考点一两个计数原理及应用[典例](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．[解析](1)由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法计数原理知，共6×3＝18种走法，故选B.(2)十位数的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个；十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．[答案](1)B(2)8[方法技巧](1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．(2)分类标准要明确，做到不重复不遗漏．(3)混合问题一般是先分类再分步．(4)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．[针对训练]1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种解析：选D按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．2．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O共2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O共2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．答案：5考点二排列问题[典例]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．[解](1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1440(种)．[方法技巧]求解排列应用问题的5种主要方法直接法适用于没有限制条件的问题优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中间接法正难则反，等价转化的方法[针对训练]1．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种解析：选D中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A22种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A1818种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有A22A1818种站法．故选D.2．(2021·长沙明德中学月考)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为()A．A26A27B．A34A27C．A33A26A27D．A34A66A27解析：选D根据题意，分3步进行分析：①将4名男生分成1,3两组，有C34＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有A33种排法；②将6名女生全排列，有A66种情况，排好后有7个空位；③将分好的2组男生安排到7个空位中，有A27种情况，则不同的排法有C34A33A66A27＝A34A66A27种．考点三组合问题[典例]已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．[解](1)第1步，选3名男运动员，有C36种选法；第2步，选2名女运动员，有C24种选法，共有C36·C24＝120(种)选法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种)．(3)法一：直接法可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48＋C38＝196(种)选法．法二：间接法从10人中任选5人有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种．所以“至少有1名队长”的选法为C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48－C45种．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．[方法技巧]组合问题的2种题型及解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理[针对训练]1．(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为C24B．若化学必选，选法总数为C12C