【新高考复习】课时跟踪检测（五十八） 概率与统计的综合问题 作业

课时跟踪检测（五十八）概率与统计的综合问题1．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：人员编号12345(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人员编号678910(x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其数学期望．解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名．从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C210＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为C25＋C24＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝1645.(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号12345678910综合指标4462453513其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为1,2,3,4,5.P(X＝1)＝C13·C12C16·C14＝14，P(X＝2)＝C13·C11＋C12·C12C16·C14＝724，P(X＝3)＝C13·C11＋C12·C11＋C11·C12C16·C14＝724，P(X＝4)＝C11·C11＋C12·C11C16·C14＝18，P(X＝5)＝C11·C11C16·C14＝124，所以随机变量X的分布列为X12345P1472472418124E(X)＝1×14＋2×724＋3×724＋4×18＋5×124＝2912.2．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：x246810y3671012(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并估计当x＝20时y^的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考公式：b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.解：(1)散点图如图所示．(2)依题意得，x＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，i＝15x2i＝4＋16＋36＋64＋100＝220，i＝15xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝272－5×6×7.6220－5×62＝1.1，所以a^＝7.6－1.1×6＝1，所以线性回归方程为y^＝1.1x＋1，故当x＝20时，y^＝23.(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－40，所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝C22C13C35＝310，P(ξ＝2)＝C12C23C35＝610＝35，P(ξ＝3)＝C33C35＝110，故ξ的分布列为ξ123P31035110E(ξ)＝1×310＋2×35＋3×110＝95.3．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5千克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图：(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率．(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望．(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1t4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y/元6t8t4t2t－53et试分析生产该产品能否盈利，若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)解：(1)设事件A发生的概率为P(A)，将频率作为概率，则由频率分布直方图可得，随机抽取1件产品，为废品的概率P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C33(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，m∈[85,90)的频率为0.08×5＝0.4，m∈[90,95)的频率为0.04×5＝0.2，m∈[95,100]的频率为0.02×5＝0.1.故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件．从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C35C37＝27，P(X＝1)＝C12C25C37＝47，P(X＝2)＝C22C15C37＝17，所以X的分布列为X012P274717所以E(X)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1t4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y/元6t8t4t2t－53etP0.050.10.150.40.3故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1t4)．则y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln5，当t∈(1，ln5)时，y′0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；当t∈(ln5,4)时，y′0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．所以当t＝ln5时，y取得最大值，最大值为2.5×ln5－0.5eln5≈1.5.所以生产该产品能够盈利，当t＝ln5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值，约为1.5元．4．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*，且n≤998.(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；(2)证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列；(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．解：(1)由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6，则P(X＝3)＝133＝127，P(X＝4)＝C13×23×132＝29，P(X＝5)＝C23×232×13＝49，P(X＝6)＝233＝827，所以X的分布列为X3456P1272949827所以X的数学期望E(X)＝3×127＋4×29＋5×49＋6×827＝5.(2)证明：由题意可得Pn＋2＝13Pn＋1＋23Pn，所以Pn＋2－Pn＋1＝－23(Pn＋1－Pn)．又P1＝13，P2＝23＋132＝79，所以P2－P1＝49≠0，所以{Pn＋1－Pn}是以49为首项，－23为公比的等比数列．(3)由(2)可得，P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P2－P1)＋P1＝49×1－－23981＋23＋13＝35－415×2398.