第六节 三角函数图象与性质的综合问题 课件

第六节三角函数图象与性质的综合问题三角函数的图象与性质是每年高考命题的热点，除考查基本问题外，还常涉及求参数范围问题，多为压轴小题；在综合问题中，常考查三角函数图象的变换和性质、三角恒等变换、零点、不等式等的交汇创新问题．题型一三角函数图象与性质中的参数范围问题针对选择题特事特办，选择题中关于三角函数的图象和性质的问题是多年来高考的热点，三角函数试题常涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的图象的单调性、对称性、周期性等问题．一般来说：(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)有两条对称轴x＝a，x＝b，则有|a－b|＝T2＋kT2(k∈Z)(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)有两个对称中心M(a,0)，N(b,0)，则有|a－b|＝T2＋kT2(k∈Z)策略一(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)有一条对称轴x＝a，一个对称中心M(b,0)，则有|a－b|＝T4＋kT2(k∈Z)策略二研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决[典例]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5[解题观摩]法一：排除法由f－π4＝0得，－π4ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋π4ω.当ω＝5时，k只能取－1，φ＝π4，f(x)＝sin5x＋π4，则fπ4＝－1，x＝π4是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈π18，5π36时，5x＋π4∈19π36，34π36，这个区间不含2n＋12π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在π18，5π36上单调，符合题意．当ω＝7时，k只能取－2，φ＝－π4，f(x)＝sin7x－π4，则fπ4＝－1，x＝π4是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈π18，5π36时，7x－π4∈5π36，26π36，这个区间含有π2，则函数f(x)在π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，k只能取－2，φ＝π4，f(x)＝sin9x＋π4，则fπ4＝1，x＝π4是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈π18，5π36时，9x＋π4∈3π4，3π2，这个区间不含2n＋12π(n∈Z)中的任何一个，函数f(x)在π18，5π36上单调，符合题意．当ω＝11时，k只能取－3，φ＝－π4，f(x)＝sin11x－π4，则fπ4＝1，x＝π4是函数图象的对称轴，符合题意；当x∈π18，5π36时，11x－π4∈13π36，46π36，这个区间含有π2，则函数f(x)在π18，5π36上不可能单调，不符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B.法二：特殊值法从T＝2π2k＋1，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝2π11，从单调区间的一个端点x＝π4往前推算，靠近π18，5π36的单调区间为－π44，3π44，3π44，7π44，容易看出π183π445π36，不合题意；当ω＝9时，T＝2π9，从单调区间的一个端点x＝π4往前推算，靠近π18，5π36的单调区间为5π36，π4，π36，5π36，容易看出π18，5π36⊆π36，5π36，符合题意．故选B.法二：特殊值法从T＝2π2k＋1，ω＝2k＋1(k∈N)来思考，ω需要最大值，只有从选项中的最大数开始，即从前往后一一验证：当ω＝11时，T＝2π11，从单调区间的一个端点x＝π4往前推算，靠近π18，5π36的单调区间为－π44，3π44，3π44，7π44，容易看出π183π445π36，不合题意；当ω＝9时，T＝2π9，从单调区间的一个端点x＝π4往前推算，靠近π18，5π36的单调区间为5π36，π4，π36，5π36，容易看出π18，5π36⊆π36，5π36，符合题意．故选B.法三：综合法由题意得－π4ω＋φ＝k1π，k1∈Z，π4ω＋φ＝k2π＋π2，k2∈Z，且|φ|≤π2，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin11x－π4，f(x)在区间π18，3π44上单调递增，在区间3π44，5π36上单调递减，不满足f(x)在区间π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在区间π18，5π36上单调递减．[答案]B[归纳总结](1)本题条件较多，事实上从题型特征的角度来看，若选择题的已知条件越多，那么意味着可用来排除选项的依据就越多，所谓正面求解也是在不断缩小的范围内与条件进行对比验证．(2)上述法一和法二的本质是一样的，都是针对选择题的做法，逐一验证，目标明确，不同的是验证的角度．法二直接利用y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的单调区间的特征，每个区间长度为T2，从靠近区间的特殊极值点π4开始把可能出现的单调区间找出来比较，只要“所求区间包含在单调区间内”即可．[针对训练]1．若函数f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，x03和2x0，7π6上都是单调递增函数，则实数x0的取值范围为()A.π6，π2B．π3，π2C.π6，π3D．π4，3π8解析：由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，在原点附近的递增区间为[－π3，π6]，2π3，7π6，因此x03≤π6，2x0≥2π3，解得π3≤x0≤π2.答案：B2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－12A0，0φπ2的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝π12对称，若对于任意的x∈0，π2，都有m2－3m≤f(x)，则实数m的取值范围为()A.1，32B．[1,2]C.32，2D．3－32，3＋32解析：∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－12A0，0φπ2的图象在y轴上的截距为1，∴Asinφ－12＝1，即Asinφ＝32.∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－12的图象关于直线x＝π12对称，∴2×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，又0φπ2，∴φ＝π3，∴A·sinπ3＝32，∴A＝3，∴f(x)＝3sin2x＋π3－12.对于任意的x∈0，π2，都有m2－3m≤f(x)，∴m2－3m≤f(x)min.∵x∈0，π2，∴2x＋π3∈π3，4π3，sin2x＋π3∈－32，1，3sin2x＋π3∈－32，3，f(x)∈－2，3－12，∴m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.答案：B题型二三角函数图象与性质的综合问题[典例]已知函数f(x)＝3sin2ωx＋π3(ω0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点－π3，0，求当m取得最小值时，g(x)在－π6，7π12上的单调递增区间．[解](1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f(x)的最小正周期T＝2×π2＝2π2ω，解得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin2x＋π3.(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度得到函数g(x)＝3sin[2(x＋m)＋π3]＝3sin2x＋2m＋π3的图象，根据g(x)的图象恰好经过点－π3，0，可得3sin－2π3＋2m＋π3＝0，即sin2m－π3＝0，所以2m－π3＝kπ(k∈Z)，m＝kπ2＋π6(k∈Z)，因为m0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为π6.此时，g(x)＝3sin2x＋2π3.因为x∈－π6，7π12，所以2x＋2π3∈π3，11π6.当2x＋2π3∈π3，π2，即x∈－π6，－π12时，g(x)单调递增；当2x＋2π3∈3π2，11π6，即x∈5π12，7π12时，g(x)单调递增．综上，g(x)在区间－π6，7π12上的单调递增区间是－π6，－π12和5π12，7π12.[归纳总结]解决三角函数综合问题的一般步骤第一步：将f(x)化为asinωx＋bcosωx的形式．第二步：构造f(x)＝a2＋b2(aa2＋b2·sinωx＋ba2＋b2·cosωx).第三步：和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)(其中φ为辅助角)．第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(ωx＋φ)研究三角函数的图象与性质．第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[针对训练]已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，∴g(x)＝3cosπ2－2x－2cos2x＝3sin2x－1－cos2x＝2sin2x－π6－1.∵0≤x≤2π3，∴－π6≤2x－π6≤7π6，∴－12≤sin2x－π6≤1，∴－2≤2sin2x－π6－1≤1，故函数g(x)＝3fπ2－2x－2f2(x)在区间0，2π3上的值域是[－2,1]．“课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十三）”(单击进入电子文档)谢谢观看