【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2.5　对数与对数函数

§2.5对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，logaNaN(a0，且a≠1，N0)．(2)对数的运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)换底公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．微思考1．根据对数的换底公式，说出logab与logba，logmnab与logab的关系？提示logab·logba＝1，logmnab＝nmlogab.2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．提示0cd1ab.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(2)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y＝loga1＋x1－x与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(×)(4)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，－1.(√)题组二教材改编2．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________.答案6解析∵函数f(x)＝3x＋9x，∴f(log32)＝339log2log2log43929＝2＋4＝6.3．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________.(写出满足条件的一个f(x)即可)答案log2x解析运算符合对数函数的运算法则，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)，可以填写f(x)＝log2x.4．函数23log(21)yx的定义域是______．答案12，1解析由23log(2)01x≥，得02x－1≤1.∴12x≤1.∴函数23log(21)yx的定义域是12，1.题组三易错自纠5．已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c答案B6．计算：(log29)·(log34)＝________.答案4解析(log29)·(log34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.题型一对数式的运算例1(1)(2020·全国Ⅰ)设alog34＝2，则4－a等于()A.116B.19C.18D.16答案B解析方法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19.方法二因为alog34＝2，所以a＝2log34＝2log43＝log432＝log49，所以144log9log9114449.9a(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝____.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.跟踪训练1(1)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100答案A解析2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝10(舍m＝－10)．(2)计算：log535＋122log2－log5150－log514＝________.答案2解析原式＝log535－log5150－log514＋212log(2)＝log535150×14＋12log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11答案A解析由函数图象可知，f(x)为增函数，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1logab0，解得1ab1.综上有01ab1.(2)若方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为__________．答案0，22解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0a1)的图象大致为()答案A解析由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a1.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较指数式、对数式的大小例3(1)设a＝log3e，b＝e1.5，131log4c，则()A．bacB．cabC．cbaD．acb答案D解析131log4c＝log34log3e＝a.又c＝log34log39＝2，b＝e1.52，∴acb.(2)若实数a，b，c满足loga2logb2logc20，则下列关系中正确的是()A．abcB．bacC．cbaD．acb答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log2a1log2b1log2c0，即log2clog2blog2a0，可得cba1.故选C.思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.命题点2解对数方程(不等式)例4设函数f(x)＝log2x，x0，12log()x，x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意得a0，log2a12loga或a0，12log()alog2－a，解得a1或－1a0，故选C.命题点3对数函数性质的综合应用例5(1)(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A．是偶函数，且在12，＋∞上单调递增B．是奇函数，且在－12，12上单调递减C．是偶函数，且在－∞，－12上单调递增D．是奇函数，且在－∞，－12上单调递减答案D解析f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为xx≠±12.∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C.当x∈－∞，－12时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln－2x－11－2x＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，∵y＝1＋22x－1在－∞，－12上单调递减，∴由复合函数的单调性可得f(x)在－∞，－12上单调递减．[高考改编题](多选)已知函数f(x)＝ln2x＋12x－1，下列说法正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)在12，＋∞上单调递减D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD解析f(x)＝ln2x＋12x－1，令2x＋12x－10，解得x12或x－12，∴f(x)的定义域为－∞，－12∪12，＋∞，又f(－x)＝ln－2x＋1－2x－1＝ln2x－12x＋1＝ln2x＋12x－1－1＝－ln2x＋12x－1＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确；B错误．又f(x)＝ln2x＋12x－1＝ln1＋22x－1，令t＝1＋22x－1，t0且t≠1，∴y＝lnt，又t＝1＋22x－1在12，＋∞上单调递减，且y＝lnt为增函数，∴f(x)在12，＋∞上单调递减，故C正确；∴y＝lnt的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)答案A解析令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g10，a≥1，即2－a0，a≥1，解得1≤a2，即a∈[1,2)．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练3(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．答案1，83解析当a1时，f(x)＝loga(8－ax