【新高考复习】专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（教师版含解

专题06三角函数及解三角形1．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知πsinsin=3（）1，则πsin=6（）A．12B．33C．23D．22【答案】B【解析】由题意可得：13sinsincos122，则：33sincos122，313sincos223，从而有：3sincoscossin663，即3sin63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数π()cos()6fxx在[−π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数fx可得：4cos096，又4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32.所以函数fx最小正周期为224332T故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则tanB=A．5B．25C．45D．85【答案】C【解析】设,,ABcBCaCAb22222cos916234933cababCc22221145cossin1()tan452999acbBBBac故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f(x)=sinx+1sinx，则A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称C．f(x)的图像关于直线x对称D．f(x)的图像关于直线2x对称【答案】D【解析】sinx可以为负，所以A错；1sin0()()sin()sinxxkkZfxxfxxQQ()fx关于原点对称；的11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxxQ故B错；()fx关于直线2x对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2020年高考天津】已知函数π()sin()3fxx．给出下列结论：①()fx的最小正周期为2π；②π()2f是()fx的最大值；③把函数sinyx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()yfx的图象．其中所有正确结论的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3fxx，所以周期22T，故①正确；51()sin()sin122362f，故②不正确；将函数sinyx的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin()3yx的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A.30303sintannnnB.30306sintannnnC.60603sintannnnD.60606sintannnn【答案】A【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360606nn，每条边长为302sinn，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为3012sinnn，单位圆的外切正6n边形的每条边长为302tann，其周长为3012tannn，303012sin12tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A.【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n边形和外切正6n边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A．πsin(3x）B．πsin(2)3xC．πcos(26x）D．5πcos(2)6x【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选A,当2536212x时，1y5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx.而5cos2cos(2)66xx故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2sin3x，则cos2x__________．【答案】19【解析】22281cos212sin12()1399xx.故答案19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.9．【2020年高考江苏】已知2sin()4=23，则sin2的值是▲．【答案】13【解析】22221sin()(cossin)(1sin2)4222Q121(1sin2)sin2233故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2020年高考北京】若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】2(2,2kkZ均可)【解析】因为22cossinsin1coscossin1sinfxxxx，所以22cossin12，解得sin1，为故可取2.故答案为：2(2,2kkZ均可).【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.11．【2020年高考浙江】已知tan2，则cos2_______，πtan()4_______．【答案】35-；13【解析】2222222222cossin1tan123cos2cossincossin1tan125，tan1211tan()41tan123，故答案为：31,53【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.12．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4yx﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】524x【解析】3sin[2()]3sin(2)6412yxx72()()122242kxkkZxkZ当1k时524x.故答案为：524x【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542【解析】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF，所以5NF，因为5AP,所以45AGP，因为//BHDG，所以45AHO，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCDQ，所以3252212522rr，解得22r；等腰直角OAH△的面积为11222242S；扇形AOB的面积221322324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.(1)若a=3c，b=27，求ABC△的面积；(2)若sinA+3sinC=22，求C.【解析】(1)由题设及余弦定理得22228323cos150ccc，解得2c(舍去)，2c，从而23a.ABC△的面积为1232sin15032．(2)在ABC△中，18030ABCC，所以sin3sinsin(30)3sinsin(30)ACCCC，故2sin(30)2C.而030C，所以3045C，故15C.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知25cos()cos24AA．(1)求A；(2)若33bca，证明：△ABC是直角三角形．【解析】(1)由已知得25sincos4AA，即21coscos04AA．所以21(cos)02A，1cos2A．由于0A，故3A．(2)由正弦定理及已知条件可得3sinsinsin3BCA．由(1)知23BC，所以23sinsin()sin333BB．即131sincos222BB，1sin()32B．由于03B，故2B．从而ABC△是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．16．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB．(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得4cos5ADC，求tanDAC∠的值．【解析】(1)在ABC△中，因为3,2,45acB，由余弦定理2222cosbacacB，得292232cos455b，所以5b.在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得52=sin45sinC，所以5sin.5C(2)在ADC△中，因为4cos5ADC,所以ADC为钝角，而180ADCCCAD,所以C为锐角.故225cos1sin,5CC则