【新高考复习】专题02 函数的概念与基本初等函数I——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教

专题02函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国I卷理数】若242log42logabab，则A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】B【解析】设2()2logxfxx，则()fx为增函数，因为22422log42log2logabbabb所以()(2)fafb2222log(2log2)abab22222log(2log2)bbbb21log102，所以()(2)fafb，所以2ab.2()()fafb22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb，当1b时，2()()20fafb，此时2()()fafb，有2ab当2b时，2()()10fafb，此时2()()fafb，有2ab，所以C、D错误.故选：B．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900，设需要志愿者x名，500.95900x，17.1x,故需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)A．是偶函数，且在1(,)2单调递增B．是奇函数，且在11(,)22单调递减C．是偶函数，且在1(,)2单调递增D．是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，fx为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x时，ln21ln12fxxx，ln21yxQ在11,22上单调递增，ln12yx在11,22上单调递减，fx在11,22上单调递增，排除B；当1,2x时，212ln21ln12lnln12121xfxxxxx，2121x在1,2上单调递减，lnf在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：fx在1,2上单调递减，D正确.故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据fx与fx的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为(ln19≈3)A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】0.23531tKIte，所以0.23530.951tKItKe，则0.235319te，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t.故选：C．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．abcB．bacC．bcaD．cab【答案】A【解析】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得451313c，54c，可得45c.综上所述，abc.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y3−x−3−y，则A．ln(y−x+1)0B．ln(y−x+1)0C．ln|x−y|0D．ln|x−y|0【答案】A【解析】由2233xyxy得：2323xxyy，令23ttft，2xy为R上的增函数，3xy为R上的减函数，ft为R上的增函数，xy，0yxQ，11yx，ln10yx，则A正确，B错误；xyQ与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A．【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,xy的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.7．【2020年高考天津】函数241xyx的图象大致为ABCD【答案】A【解析】由函数的解析式可得：241xfxfxx，则函数fx为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当1x时，42011y，选项B错误.故选：A．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log0.83abc，则,,abc的大小关系为A．abcB．bacC．bcaD．cab【答案】D【解析】因为0.731a，0.80.80.71333ba，0.70.7log0.8log0.71c，所以1cab.故选：D．【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：(1)利用指数函数的单调性：xya，当1a时，函数递增；当01a时，函数递减；(2)利用对数函数的单调性：logayx，当1a时，函数递增；当01a时，函数递减；(3)借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【解析】因为03.28R，6T，01RrT，所以3.2810.386r，所以0.38rttItee，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10.38()0.382tttee，所以10.382te，所以10.38ln2t，所以1ln20.691.80.380.38t天.故选：B．【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R的奇函数f(x)在(0),单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]C．[)1,0][1,D．1,0]3][[1,【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)上单调递减，且(2)0f，所以()fx在(0,)上也是单调递减，且(2)0f，(0)0f，所以当(,2)(0,2)x时，()0fx，当(2,0)(2,)x时，()0fx，所以由(10)xfx可得：021012xxx或或001212xxx或或0x.解得10x≤≤或13x，所以满足(10)xfx的x的取值范围是[1,0][1,3]，故选：D．【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp，定义X的信息熵21()logniiiHXpp.A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C．若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若1n，则11,1ip，所以21log10HX，所以A选项正确.对于B选项，若2n，则1,2i，211pp，所以121121Xlog1log1Hpppp，当114p时，221133loglog4444HX，当13p4时，223311loglog4444HX，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若11,2,,ipinn，则222111logloglogHXnnnnn，则HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且21jmjPYjpp(1,2,,jm).2222111loglogmmiiiiiiHXpppp122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp.HY122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp由于01,2,,2ipim，所以2111iimippp，所以222111loglogiimippp，所以222111loglogiiiimippppp，所以HXHY，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属