【新高考复习】专题10 计数原理——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

专题10计数原理1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()xxyxy的展开式中x3y3的系数为A．5B．10C．15D．20【答案】C【解析】5()xy展开式的通项公式为515CrrrrTxy(rN且5r)所以2yxx的各项与5()xy展开式的通项的乘积可表示为：56155CCrrrrrrrxTxxyxy和54252152CCrrrrrrrTxyyyyxxx在615CrrrrxTxy中，令3r，可得：33345CxTxy，该项中33xy的系数为10，在42152CrrrrTxxyy中，令1r，可得：521332CyxTxy，该项中33xy的系数为5所以33xy的系数为10515故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有1265CC61060种.故选：C．【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.3．【2020年高考北京】在5(2)x的展开式中，2x的系数为A．5B．5C．10D．10【答案】C【解析】52x展开式的通项公式为：552155C22CrrrrrrrTxx，令522r可得：1r，则2x的系数为：1152C2510.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：24C6.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：33A6，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636种，故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．【2020年高考全国III卷理数】262()xx的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【解析】622xx其二项式展开通项：62612CrrrrxxT1226C(2)rrrrxx1236C(2)rrrx当1230r，解得4r622xx的展开式中常数项是：66442C2C161516240.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握nab的展开通项公式1CrnrrrnTab，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6．【2020年高考天津】在522()xx的展开式中，2x的系数是_________．【答案】10【解析】因为522xx的展开式的通项公式为55315522CC20,1,2,3,4,5rrrrrrrTxxrx，令532r，解得1r．所以2x的系数为15C210．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．7．【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1xaaxaxaxaxax，则4a_______，135aaa________．【答案】80；122【解析】5(12)x的通项为155C(2)2CrrrrrrTxx，令4r，则4444552C80Txx，故580a；1133551355552C2C2C122aaa.故答案为：80；122.【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.1．【2020·全国高三其他(理)】若51ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值为A．-2B．22C．34D．2【答案】D【解析】51ax的展开式中含3x的项为322335110Caxax，由题意得31080a，所以2a.选D.2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考(理)】二项式261()2xx的展开式中3x的系数为A．52B．52C．1516D．316【答案】A【解析】通项为6212316611122rrrrrrrrTCxCxx令1233r，则3r，333334615122TCxx故选：A【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.3．【2020·山东省高三一模】某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节､下午4节)，分别安排语文数学､英语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有A．4800种B．2400种C．1200种D．240种【答案】B【解析】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，有12A2种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列有225A10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有55A120种编排方法．根据分步计数原理知共有2101202400种编排方法．故选：B．【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.4．【2020·辽宁省高三三模(理)】在6113xx展开式中，含5x的项的系数是A．39B．9C．15D．51【答案】A【解析】因为62345611316152015613xxxxxxxxx所以含5x的项的系数为631539.故选：A.5．【2020·天津耀华中学高三二模】在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有A．512个B．192个C．240个D．108个【答案】D【解析】由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．6．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模(理)】为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、ABC三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有A．24B．36C．48D．64【答案】B【解析】当按照3:1:1进行分配时，则有133318CA种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318CA种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他(理)】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】A【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有55A种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323AA种排法,故概率232355110AAPA故选：A【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题.8．【2020·湖南省长沙一中高三月考(理)】已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝A．－4B．－3C．－2D．－1【答案】D【解析】由题意知：2155CC5a，解得1a，故选D.【点睛】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.9．【2020·福建省连城县第一中学高三一模(理)】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是A．110B．15C．140D．940【答案】A【解析】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，所有可能的分组共有25C10种，甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，故甲和乙恰好在同一组的概率是110.故选：A.10．【2020·福建省高三月考(理)】已知1222nxx的展开式中第9项是常数项，则展开式中5x的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________.【答案】105815【解析】因为15222211C(1)C22rnrnrnrrrrrnnxTxx，所以当8r时，5202nr，则10n；令521052r，得6r，所以5x的系数为466101105(1)28C.设1rT的系数的绝对值最大，则1011110101091101011CC2211CC22rrrrrrrr……，解得192233r剟，因为[0,10]r，rZ，所以7r，故系数的绝对值最大的项的系数为377101(1)152C.故答案为：(1)1058(2)15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数与系数绝对值最大项等问题，考查了学生的运算求解能力.11．【2020·浙江省高三其他】有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.【答案】72090【解析】先从标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，选出3张排在第一行，剩余3张排在第二行，则共有33336333CACA720种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，当第一行是：1，2，3时，第二行是4，5，6，则有3333AA36种不同的排法，当第一行是：1，2，4时，第二行是3，5，6，则有123223CAA24种不同的排法，当第一行是：1，2，5时，第二行是3，4，6，则有2323AA12种不同的排法，当第一行是：1，3，4时，第二行是2，5，6，则有2323AA12种不同的排法，当第一行是：1，3，5时，第二行是2，4，6