【新高考复习】02卷 第六章　数　列《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）(

02卷第六章数列《真题模拟卷》《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1．设函数()2cosfxxx，na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaaA．0B．2116C．218D．21316【答案】D【详解】∵数列{an}是公差为的等差数列，且125()()()5fafafa∴∴即得∴2313[()]faaa[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习.另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.2．已知等差数列na的前n项和为55,5,15nSaS,则数列11nnaa的前100项和为A．100101B．99101C．99100D．101100【答案】A【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴1145{545152adad⇒111ad⇒an＝n.∴11nnaa＝11nn＝111nn，S100＝112＋1123＋…[phone]＝1－1101＝100101.3．数列{}na的通项公式cos,2nnan其前n项和为nS，则2012S等于A．1006B．2012C．503D．0【答案】A【详解】2012cos,210213041201212462010201225031006.nnanS故选：A.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题4．（2017新课标全国II理科）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS____________．【答案】21nn【详解】设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有1123434102adad，解得111ad，数列的前n项和111111222nnnnnnnSnadn，裂项可得12112()(1)1kSkkkk，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nkknSnnnn．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．5．数列na是等差数列，若1351,3,5aaa构成公比为q的等比数列，则q________.【答案】1【详解】试题分析：∵1351,3,5aaa成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]aadad，令11,1axdy，则2(4)(2)xxyxy，即222444xxyxxyy，∴0y，即10d，∴1q.考点：1.等差，等比数列的性质.三、解答题6．已知数列na满足111,31nnaaa.(1)证明12na是等比数列，并求na的通项公式；(2)证明：121113...2naaa.【答案】（1）证明见解析，113322nna；（2）证明见解析.【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出1na，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由131nnaa得1113()22nnaa，所以112312nnaa，所以12na是等比数列，首项为11322a，公比为3，所以12na1332n，解得na312n.（2）由（1）知：na312n，所以1231nna，因为当1n时，13123nn，所以1113123nn，于是11a21a1na111133n=31(1)23n32，所以11a21a1na32.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当1n时，13123nn，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.7．已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设．记数列的前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．【答案】（1）2()nnanN，1()nbnnnN；（2）（i）11()12nnSnNn；（ii）4k．【解析】试题分析：（1）求与得通项公式，由已知得326bb，再由已知得，32328bba，又因为数列为等比数列，即可写出数列na的通项公式为2()nnanN，由数列na的通项公式及，可得数列nb的通项公式为，1()nbnnnN；（2）（i）求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，将2nna，1nbnn代入整理得11121nncnn，利用等比数列求和公式，即可得数列的前项和；（ii）求正整数，使得对任意，均有，即求数列nS的最大项，即求数列得正数项，由数列的通项公式，可判断出12340,0,0,0cccc，当5n时，0nc，从而可得对任意nN恒有4nSS，即4k．（1）由题意，，326bb，知32328bba，又有12a，得公比2q=（2q舍去），所以数列na的通项公式为2()nnanN，所以11212322nnnnnaaaa，故数列nb的通项公式为，1()nbnnnN；（2）（i）由（1）知，11111()21nnnncnNabnn，所以11()12nnSnNn；（ii）因为12340,0,0,0cccc；当5n时，11112nnnncnn，而11112120222nnnnnnnnn，得51551122nnn，所以当5n时，0nc，综上对任意nN恒有4nSS，故4k．点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力．8．已知数列和满足，（1）求与；（2）记数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.试题解析：（1）由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.（2）由（1）知，所以所以所以.考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.9．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：245132,440aaaaaa，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有1kkkcbc剟成立，求m的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①bn=n*nN；②5.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定kb的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由245321440aaaaaa，得244112111440aqaqaqaqa，解得112aq．因此数列{}na为“M—数列”.（2）①因为1122nnnSbb，所以0nb．由1111,bSb得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnbbSbb，当2n时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnbbbbbbbbb，整理得112nnnbbb．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n*nN.②由①知，bk=k，*kN.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ck≤bk≤ck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有lnlnln1kkqkk．设f（x）=ln(1)xxx，则21ln()xf'xx．令()0f'x，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+∞)()f'x+0–f（x）极大值因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3fkf．取33q，当k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk„，即kkq，经检验知1kqk也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．10．设na是等差数列，nb是等比数列，公比大于0，已知113ab，23ba，3243ba.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足21,,,nnncbn为奇数为偶数求*112222nnacacacnN.【答案】（I）3nan，3nnb；（II）22(21)369()2nnnnN【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得33dq，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的nc所满足的条件，将112222nnacacac表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】（I）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，依题意，得23323154qdqd，解得33dq，故33(1)3nann，1333nnnb，所以，na的通项公式为3nan，nb的通项公式为3nnb；（II）112222nnacacac135212142632()()nnnaaaaabababab123(1)[36](6312318363)2nnnnn21236(13233)nnn，记1213233nnTn①则231313233nnTn②②①得，231233333nnnTn113(13)(21)333132nnnnn，所以122112222(21)3336332nnnnnacacacnTn