【新高考复习】专题05 函数 5.2二次函数与幂函数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析

专题四《函数》讲义5.2二次函数与幂函数知识梳理.二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上单调递增在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．题型一.二次函数考点1.二次函数根的分布、恒成立问题1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，∵﹣3＜0，∴f（x）在R上单调递减，符合题意；②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，∵二次函数在对称轴右侧单调递增，∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，故不符合题意；③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x=−𝑎−32𝑎，∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，∴−𝑎−32𝑎≤−1，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．故选：D．2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（﹣3，1]．【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，∴{△≥0𝑓(−1)＞0，即{4−4𝑎≥03+𝑎＞0，解得﹣3＜a≤1．故答案为（﹣3，1]．3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＞3+2√2C．m＞3+2√2或0＜m＜3−√2D．3﹣2√2＜m＜1【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，∴{𝑚＞00＜𝑚−12𝑚＜1𝑓(1)＞0△＞0∴{𝑚＞0𝑚＞1(𝑚−1)2−4𝑚＞0∴𝑚＞3+2√2故选：B．4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．[﹣1，3]C．（﹣1，3）D．[0，2]【解答】解：依题意x2+（a﹣1）x+1≥0对任意实数x都成立，所以△＝（a﹣1）2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤3．故选：B．5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[12，+∞）D．（12，+∞）【解答】解：由题意得，对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，即a＞2𝑥−2𝑥2=2𝑥−2𝑥2=−2（1𝑥−12）2+12，而﹣2（1𝑥−12）2+12≤12，则实数a的取值范围为：（12，+∞）．故选：D．6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为(2−√7，1)∪(3，2+√7)．【解答】解：令f（k）＝kx2﹣4kx﹣3＝（x2﹣4x）k﹣3，看作关于k的一次函数，∵不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，∴{𝑓(−1)＜0𝑓(1)＜0，即{−𝑥2+4𝑥−3＜0𝑥2−4𝑥−3＜0，解得2−√7＜𝑥＜1或3＜𝑥＜2+√7．∴x的取值范围为(2−√7，1)∪(3，2+√7)．故答案为：(2−√7，1)∪(3，2+√7)．考点2.二次函数的值域与最值1．函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值为2，m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，+∞）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x＝1时，y最小，最小值是2，当x＝2时，y＝3，函数f（x）＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．2．求函数y＝﹣x（x﹣a）在x∈[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：函数y＝﹣（x−𝑎2）2+𝑎24图象开口向下，对称轴方程为x=𝑎2，（1）当𝑎2＜−1，即a＜﹣2时，由图可知，当x＝﹣1时，ymax＝﹣a﹣1；（2）当﹣1≤𝑎2≤1，即﹣2≤a≤2时，由图可知，当x=𝑎2时，ymax=𝑎24；（3）当𝑎2＞1，即a＞2时，由图可知，当x＝1时，ymax＝a﹣1；故ymax={−(𝑎+1)，𝑎＜−2𝑎24，−2≤𝑎≤2𝑎−1，𝑎＞2．3．已知函数f（x）=√𝑚𝑥2−(𝑚−2)𝑥+𝑚−1的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，23√3]．【解答】解：当m＝0时，（x）=√𝑚𝑥2−(𝑚−2)𝑥+𝑚−1=√2𝑥−1，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，∴−23√3≤m≤23√3，综上，0≤m≤23√3，∴实数m的取值范围是：[0，23√3]，故答案为：[0，23√3]，4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）题型二.幂函数考点1.幂函数的图像与性质1．已知幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：根据幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，得(12)𝛼=4，解得α＝﹣2，所以函数y＝x﹣2，x≠0；所以函数y的单调递减区间为（0，+∞）．故选：D．2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x𝑚2−4𝑚+1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为m＝3【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x𝑚2−4𝑚+1的图象分布在第一、二象限，∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，故答案为：3．3．幂函数𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝3．【解答】解：∵幂函数𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥𝑚2−2𝑚−3（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，∴a＝2，﹣1＜m＜3，又∵m∈N，∴m＝0，1，2，又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，∴a+m＝3，故答案为：3．4．已知函数f（x）=𝑥−𝑘2+𝑘+2，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：因为f（x）=𝑥−𝑘2+𝑘+2，且f（2）＞f（3），所以其在（0，+∞）上是减函数，所以根据幂函数的性质，有﹣k2+k+2＜0，即k2﹣k﹣2＞0，所以k＜﹣1或k＞2．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．考点2.利用幂函数比较大小1．已知a＝（53）13，b＝（23）34，c＝（53）14，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜aB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a【解答】解：对于y=𝑙𝑜𝑔53x是增函数，故c＝（53）14＜a＝（53）13，而b＝（23）34＜1=(53)0＜c＝（53）14，故b＜c＜a，故选：A．2．设𝑎=(34)12，𝑏=(43)14，𝑐=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a【解答】解：a=(34)12=(916)14＜1，b=(43)14＞1，c=(23)34=(827)14＜1；且0＜827＜916＜1，函数y=𝑥14在（0，+∞）上是单调增函数，所以(827)14＜(916)14，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x𝑚2−4𝑚+2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝log54，b＝log153，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x𝑚2−4𝑚+2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增，∴{(𝑚−1)2=1𝑚2−4𝑚+2=0，解得m＝0，∴f（x）＝x2，故选：A．