【新高考复习】专题10 数列 10.3数列求通项 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十《数列》讲义10.3数列求通项知识梳理.数列求通项1.利用nS与na的关系求通项公式；2.累加法：若已知1a且12nnaafnn的形式；3.累乘法：若已知1a且12nnafnna的形式；4.构造法：若已知1a且12,0,1nnapabnpp的形式qpaann1nfpaann1nnnqapaa12（其中p，q均为常数）；题型一.利用Sn与an的关系考点1.已知Sn与an的关系求an1．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和Sn=23bn+13．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d=12（a5﹣a3）＝2，又∵a3＝5，∴a1＝1，∴an＝2n﹣1，当n＝1时，S1=23b1+13，∴b1＝1，当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1=23bn−23bn﹣1，∴bn＝﹣2bn﹣1，即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴bn＝（﹣2）n﹣1，2．已知数列{an}的前n项和Sn满足2𝑆𝑛=3(𝑎𝑛−1)(𝑛∈𝑁∗)．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，当n≥2时，2Sn＝3（an﹣1），2Sn﹣1＝3（an﹣1﹣1），两式作差可得2an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n；3．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＜0，an2﹣3an＝4﹣6Sn．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）当n＝1时，𝑎12−3𝑎1=4−6𝑆1，所以a1＝﹣4或a1＝1（舍）当n≥2时，因为𝑎𝑛2−3𝑎𝑛=4−6𝑆𝑛，所以𝑎𝑛−12−3𝑎𝑛−1=4−6𝑆𝑛−1，两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+3）＝0，因为an＜0，所以an﹣an﹣1＝﹣3，所以数列{an}是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，所以an＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．考点2.带省略号1．设数列{an}满足𝑎1+3𝑎2+⋯+(2𝑛−1)𝑎𝑛=2𝑛(𝑛∈𝑁∗)．（Ⅰ）求a1，a2及{an}的通项公式；【解答】解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，当n＝1时，a1＝2，当n＝2时，a1+3a2＝4，∴a2=23，∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①，∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②①﹣②得：（2n﹣1）•an＝2，∴an=22𝑛−1，又n＝1时，a1＝2满足上式，∴𝑎𝑛=22𝑛−1；2．已知数列{an}，an＝2n+1，则1𝑎2−𝑎1+1𝑎3−𝑎2+⋯+1𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=（）A．1+12𝑛B．1﹣2nC．1−12𝑛D．1+2n【解答】解：an+1﹣an＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n∴1𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=12𝑛∴1𝑎2−𝑎1+1𝑎3−𝑎2+⋯+1𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=12+122+⋯+12𝑛=1−12𝑛故选：C．题型二.累加法1．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．（1）求{an}的通项公式；【解答】解：（1）由a1＝1，an+1＝an+n+1，可得n≥2时，an﹣an﹣1＝n，可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+2+3+...+n=12n（n+1），即an=12n（n+1），n∈N*；2．设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，则数列{an}的通项公式是an＝22n﹣1．【解答】解：∵a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，∴n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝2+3•2+3•23+…+3•22n﹣3＝2+3⋅2(1−4𝑛−1)1−4=22n﹣1；当n＝1时a1＝2适合上式．∴𝑎𝑛=22𝑛−1．故答案为：22n﹣1．3．在数列{an}中，𝑎1=2，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑙𝑛(1+1𝑛)，则数列{an}的通项an＝．【解答】解：a1＝2＝2+ln1，a2＝2+ln2，𝑎3=2+𝑙𝑛2+𝑙𝑛(1+12)=2+ln[2×（1+12）]＝2+ln3，𝑎4=2+𝑙𝑛3+𝑙𝑛(1+13)=2+ln4．由此可知an＝2+lnn．故选：D．题型三.累乘法1．在数列{an}中，已知（n2+n）an+1＝（n2+2n+1）an，n∈N+，且a1＝1，求an的表达式．【解答】解：由题意，𝑎𝑛+1𝑛+1=𝑎𝑛𝑛∵a1＝1，∴{𝑎𝑛𝑛}是以1为首项，0为公差的等差数列，∴𝑎𝑛𝑛=1，∴an＝n．2．已知数列{an}满足a1＝3，an+1=3𝑛−13𝑛+2an（n≥1），求an的通项公式．【解答】解：∵数列{an}满足a1＝3，an+1=3𝑛−13𝑛+2an（n≥1），∴𝑎𝑛𝑎𝑛−1=3𝑛−43𝑛−1（n≥2），∴an=𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2•…•𝑎3𝑎2•𝑎2𝑎1⋅𝑎1=3𝑛−43𝑛−1•3𝑛−73𝑛−4•…•58•25•3=63𝑛−1，当n＝1时也成立．∴an=63𝑛−1．3．已知正项数列{an}的首项a1＝1，且2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0（n∈N*），则{an}的通项公式为an＝(12)𝑛−1⋅𝑛．【解答】解：∵2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0，∴（2nan+1﹣（n+1）an）•（an+1+an）＝0，∵数列{an}为正项数列，∴an+1+an≠0，∴2nan+1﹣（n+1）an＝0，∴𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛+12𝑛，∴𝑎2𝑎1=22，𝑎3𝑎2=34，𝑎4𝑎3=46，…𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛2(𝑛−1)，两边累乘得，𝑎𝑛𝑎1=22×34×46×⋯×𝑛2(𝑛−1)=n•(12)𝑛−1∴an=(12)𝑛−1⋅𝑛，故答案为：(12)𝑛−1⋅𝑛，题型四.构造法1．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，且a1+2a2＝a3．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，整理得：an+1+1＝2（an+1），由a1+2a2＝a3＝2a2+1，解得a1＝1，故数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；所以𝑎𝑛=2𝑛−1．2．已知数列{an}满足an＝3an﹣1+3n（n≥2，n∈N*），首项a1＝3．（1）求数列{an}的通项公式；【解答】解：（1）数列{an}满足𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1+3𝑛（n≥2，n∈N*），∴𝑎𝑛−3𝑎𝑛−1=3𝑛，又∵3n≠0，∴𝑎𝑛3𝑛−𝑎𝑛−13𝑛−1=1为常数，∴数列{𝑎𝑛3𝑛}是首项为𝑎13=1、公差为1的等差数列，∴𝑎𝑛3𝑛=n，∴𝑎𝑛=𝑛⋅3𝑛（n∈N*）；3．已知数列{an}满足𝑎1=12，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+1，则a2021＝（）A．12019B．12020C．12021D．12022【解答】解：因为𝑎𝑛+1=𝑎𝑛𝑎𝑛+1，则1𝑎𝑛+1−1𝑎𝑛=1，又𝑎1=12，则1𝑎1=2，所以数列{1𝑎𝑛}是首项为2，公差为1的等差数列，则1𝑎𝑛=𝑛+1，所以𝑎𝑛=1𝑛+1，则a2021=12021+1=12022．故选：D．