【新高考复习】专题15概率与分布列 15.1概率 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十五《概率与分布列》讲义15.1概率知识梳理.概率1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系若A发生，则B一定发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝14．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．5．古典概型(1)特点：①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．(2)计算公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数题型一.随机事件——互斥、对立事件1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立；在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．故选：B．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（）A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡【解答】解：∵在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，∴概率是710的事件是“2张全是移动卡”的对立事件，∴概率是710的事件是“至多有一张移动卡”．故选：A．3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则下列说法正确的是（）A．乙不输的概率是23B．甲获胜的概率是13C．甲不输的概率是12D．乙输的概率是16【解答】解：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P（A）=12，P（B）=13，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=12+13=56，则甲胜的概率是1﹣P（A+B）＝1−56=16，则甲不输即为甲获胜或和棋的概率为16+12=23，乙输的概率是就是甲获胜的概率16，故选：D．4．（2012·湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以x＝15，y＝20；顾客一次购物的结算时间的平均值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=1.9（分钟）；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率可得P（A1）15100=0.15；P（A2）=30100=0.3；P（A3）=25100=0.25∴P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.15+0.3+0.25＝0.7∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．5．（2017·全国3）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X＝200）=2+1690=0.2，P（X＝300）=3690=0.4，P（X＝500）=25+7+490=0.4，∴X的分布列为：X200300500P0.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n﹣4n＝2n；若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，当200≤n≤300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n﹣4n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．题型二.古典概型1．（2019·全国2）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．23B．35C．25D．15【解答】解：法一：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为𝐶53，恰有2只测量过该指标的所有情况数为𝐶32𝐶21．∴p=𝐶32𝐶21𝐶53=35．法二：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10种，其中恰好有两只做过测试的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6种，故恰有两只做过测试的概率为610=35．故选：B．2．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（）A．110B．310C．710D．910【解答】解：男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作，则男生为5×3030+20=3人，女生为2人，从这5人中随机选取2人，共有C52＝10种，其中全时女生的有1种，故至少有1名男生的概率是1−110=910，故选：D．3．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．29B．13C．23D．89【解答】解：∵口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，∴基本事件总数n=𝐶31𝐶31=9，能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数m=𝐶31𝐶21=6，∴能两次取出的球颜色不同的概率p=𝑚𝑛=69=23．故选：C．4．在五个数1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率（）A．310B．320C．15D．14【解答】解：在五个数1，2，3，4，5中，随机取出三个数字，基本事件总数n=𝐶53=10，剩下两个数字都是奇数包含的基本事件个数m=𝐶32=3．则剩下两个数字都是奇数的概率p=𝑚𝑛=310．故选：A．5．（2019·全国1）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．516B．1132C．2132D．1116【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=𝐶63=20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p=𝑚𝑛=2064=516．故选：A．6．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035．（2）平均数为20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5岁．设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+（x﹣35）×0.035＝0.5，∴x≈42.1岁．（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3．设从5人中随机抽取3人，为：（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含：（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3）