【新高考复习】专题13解析几何 13.1直线方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版）

专题十三《解析几何》讲义13.1直线方程知识梳理.直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为αα≠π2，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用4．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.5．三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.题型一.倾斜角与斜率之间的关系1．直线sinθ•x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，𝜋4]∪[3𝜋4，𝜋)C．[0，𝜋4]D．[0，𝜋4]∪(𝜋2，𝜋)2．若0＜α＜𝜋2，则经过两点P1（0，cosα），P2（sinα，0）的直线的倾斜角为（）A．αB．𝜋2+αC．π﹣αD．﹣α3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围是．题型二.直线方程1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的斜率的取值范围为．2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是．3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．题型三.直线的平行与垂直关系1．k＝5是直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为．3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）（2）求BC边上的高所在直线的方程．题型四.距离问题1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（）A．y＝x或x＝0B．y＝x或y＝0C．y＝x或y＝﹣4xD．y＝x或𝑦=12𝑥2．P、Q分别为3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为是．3．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．题型五.对称问题1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于直线l：x+y＝0对称的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是．3．若直线l1：y＝k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点．4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被点P平分，则此直线的方程为．5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2√10B．6C．3√3D．2√5课后作业.直线方程1．若直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥−√3与直线x+y﹣3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（00，600）B．（300，600）C．（300，900）D．（600，900）2．过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为．3．若直线l被4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0两条直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．4．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则√(𝑚−𝑎)2+(𝑛−𝑏)2的最小值为（）A．√3B．√2C．1D．125．已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等于（）A．1B．2C．2√2D．2√36．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是（）A．√5B．2√5C．3√5D．√10