【新高考复习】专题13解析几何 13.2圆的方程 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版）

专题十三《解析几何》讲义13.2圆的方程知识梳理.圆的方程1.圆的方程：（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．（2）圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F．2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r（1）圆的切线方程常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.（2）有关弦长问题的2种求法几何法直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝l22＋d2代数法联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y23．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．题型一.圆的方程、轨迹方程1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．2．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（）A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1．点（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），则所求圆的方程为（x+1）2+y2＝1．故选：D．3．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圆C的标准方程；【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；4．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得：|𝑃𝑀||𝑃𝑁|=12，又M（1，0），N（4，0），∴2√(𝑥−1)2+𝑦2=√(𝑥−4)2+𝑦2，化简得：x2+y2＝4，则动点P轨迹W方程为x2+y2＝4；5．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且k1k2=−12，记点A的轨迹为E．（1）求E的方程；【解答】解：（1）设A（x，y），则k1k2=𝑦𝑥−2⋅𝑦𝑥+2=−12，整理，得x2+2y2＝4（x≠±2），即E的方程为x2+2y2＝4（x≠±2）；6．若𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=√2𝐵𝐶，则S△ABC的最大值2√2．【解答】解：设BC＝x，则AC=√2x，根据面积公式得S△ABC=12AB•BCsinB=12×2x×√1−𝑐𝑜𝑠2𝐵，又根据余弦定理得cosB=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−𝐴𝐶22𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=4+𝑥2−(√2𝑥)24𝑥=4−𝑥24𝑥，代入上式得：S△ABC＝x√1−(4−𝑥24𝑥)2=√128−(𝑥2−12)216，由三角形三边关系有：{√2𝑥+𝑥＞2𝑥+2＞√2𝑥，解得：2√2−2＜x＜2√2+2．所以当x＝2√3时，x2﹣12＝0，此时S△ABC取得最大值√12816=√8=2√2．故答案为：2√2题型二.直线与圆的位置关系1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d=1√𝑎2+𝑏2＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．故选：B．2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]．【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，∴圆心到直线l的距离小于等于半径即|2𝑘−4𝑘|√𝑘2+1≤1，解得−√33≤𝑘≤√33∴直线l的斜率的取值范围为[−√33，√33]故答案为[−√33，√33]3．已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则C上各点到l距离的最小值为（）A．√2−1B．√2+1C．√2D．2√2【解答】解：由于圆心C（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离为d=|1−1+4|√2=2√2，而圆的半径为√2，故C上各点到l距离的最小值为2√2−√2=√2，故选：C．题型三.切线问题1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求切线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，则有|𝑘−2−2𝑘−1|√1+𝑘2=√2，解可得k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1)2+(2+1)2=√10，则切线长为√(√10)2−(√2)2=√8=2√2，（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．2．（2008•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．(𝑥−3)2+(𝑦−73)2=1B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．(𝑥−32)2+(𝑦−1)2=1【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得𝑑=|4𝑎−3|5=1，∴𝑎=2(舍−12)．故选：B．3．（2014•大纲版）直线l1和l2是圆x2+y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于43．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=√10，圆的半径为r=√2，∴sinθ=√2√10，∴cosθ=2√2√10，tanθ=12，∴tan2θ=11−14=43，故答案为：43．4．（2014•新课标Ⅱ）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[−12，12]C．[−√2，√2]D．[−√22，√22]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（）A．[2√73，2√2）B．[2√143，2√2）C．[2√53，2√3）D．[2√33，2√5）【解答】解：设AC＝x，则x≥3，由PC⊥AP可知AP=√𝐴𝐶2−𝑃𝐶2=√𝑥2−2，∵AC垂直平分PQ，∴PQ＝2𝑃𝐶⋅𝐴𝑃𝐴𝐶=2•√2⋅√𝑥2−2𝑥=2√2•√1−2𝑥2．∴当x＝3时，PQ取得最小值2√2•√1−29=2√143．又√1−2𝑥2＜1，∴PQ＜2√2．∴2√143≤PQ＜2√2．故选：B．6．（2002•北京）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为2√2．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d＝3∴|PA|＝|PB|=√𝑑2−𝑟2=2√2∴𝑠𝑃𝐴𝐶𝐵=2×12|𝑃𝐴|𝑟=2√2故答案为：2√2题型四.弦长问题1．直线l：kx+y+4＝0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．√22B．√2C．√6D．2√6【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．由题意可得，直线l：kx+y+4＝0经过圆C的圆心（﹣2，2），故有﹣2k+2+4＝0，∴k＝3，点A（0，3）．直线m：y＝x+3，圆心到直线的距离d=|−2−2+3|√2=1√2，∴直线m被圆C所截得的弦长为2√2−12=√6．故选：C．2．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2√3，则k的取值范围是{k|−3−2√65＜k≤−34，或0≤k＜−3+2√65}．【解答】解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，则d=|3𝑘−2+3|√𝑘2+1＜2，由于(𝑀𝑁2)2=4﹣d2，且MN＜2√3，求得d≥1，∴1≤d＜2，即|3𝑘−2+3|√𝑘2+1∈[1，2），由d≥1求得k≤−34，k≥0，由d＜2求得−3−2√65＜d＜−3+2√65，即k的取值范围是{k|−3−2√65＜k≤−34，或0≤k＜−3+2√65}，故答案为：{k|−3−2√65＜k≤−34，或0≤k＜−3+2√65}．3．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．2√5B．4√5C．6√3D．8√3【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心坐标为C（1，2），半径为5．由直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，联立{2�