【新高考复习】专题14计数原理 14.2二项式定理 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版

专题十四《计数原理》讲义14.2二项式定理知识梳理.二项式定理1.二项式定理的概念:(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，Cnn.2.展开式中二项式系数的性质:(1)mnmnnCC(2)11mmmnnnCCC(3)当12nr时，1;rrnnCC当12nr时，1rrnnCC(4)01nnnnCCC2n3．赋值法求展开式系数和二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．4．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项第n＋12项与第n＋12＋1项的二项式系数相等并最大．题型一.二项式展开后的某项1．二项式(2𝑥−1√𝑥3)8的展开式中，常数项为112（用数字作答）【解答】解：依题意，二项式(2𝑥−1√𝑥3)8的展开式的第k+1项为：Tk+1=𝐶8𝑘(2𝑥)8−𝑘⋅(−1)𝑘⋅(𝑥−13)𝑘=𝐶8𝑘•(−1)𝑘⋅28−𝑘⋅𝑥8−43𝑘，由8−43𝑘=0解得，k＝6，所以常数项为：(−1)6×22×𝐶86=112，故答案为：112．2．二项式(√𝑥+1√𝑥3)40的展开式中，其中是有理项的项数共有（）A．4项B．7项C．5项D．6项【解答】解：二项式(√𝑥+1√𝑥3)40的展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶40𝑟⋅(√𝑥)40−𝑟⋅(1√𝑥3)𝑟=𝐶40𝑟⋅𝑥120−5𝑟6．∵0≤r≤40，且r∈N，∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，120−5𝑟6∈Z．∴二项式(√𝑥+1√𝑥3)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选：B．3．(√𝑥−𝑥2)8展开式中二项式系数最大的项为358𝑥6．（求出具体的项）【解答】解：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T5，∴T5的项＝C84（√𝑥）4（−𝑥2）4=358𝑥6．展开式中二项式系数最大的项是358𝑥6．故答案为358𝑥64．（x√𝑥+1𝑥4）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第4项．【解答】解：由题意可得，∁n2﹣∁n1＝44，可求n＝11，故（x√𝑥+1𝑥4）n的展开式的通项公式为Tr+1=𝐶11𝑟•𝑥33−11𝑟2，令33−11𝑟2=0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是第第四项，故答案为：4．题型二.多项展开式中项的问题1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为1．【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2）2＝（1﹣x3）（1+x+x2），故x2项的系数为1，故答案为：1．2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（）A．10B．20C．30D．60【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1=∁5𝑟y5﹣r（x2+x）r，令5﹣r＝3，解得r＝2．（x2+x）2＝x4+2x3+x2，∴x3y3的系数为2×∁52=20，故选：B．3．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（）A．﹣30B．120C．240D．420【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：Tr+1=∁6𝑟（2y）6﹣r（x+z）r＝26﹣r∁6𝑟y6﹣r（x+z）r，（x+z）r的展开式的通项公式：Tk+1=∁𝑟𝑘xr﹣kzk．可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣r∁6𝑟y6﹣r•∁𝑟𝑘xr﹣kzk．令r﹣k+1＝2，6﹣r＝3，k＝2，或r﹣k＝2，6﹣r+1＝3，k＝2．解得k＝2，r＝3．或k＝2，r＝4．∴x2y3z2的系数为23∁63∁32−22∁64∁42=120．故选：B．4．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，则a3＝（）A．64B．48C．﹣48D．﹣64【解答】解：由（x+1）4+（x﹣2）8＝[（x﹣1）+2]4+[（x﹣1）﹣1]8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，得𝑎3⋅(𝑥−1)3=𝐶41⋅(𝑥−1)3⋅2+𝐶85⋅(𝑥−1)3⋅(−1)5，∴𝑎3=8−𝐶85=−48．故选：C．题型三.二项式系数和、展开式系数和1．已知二项式(𝑥+2𝑥)𝑛的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝4，展开式中的常数项是24．【解答】解：由题意知：得2n＝16，∴n＝4；展开式的通项为Tr+1=𝐶4𝑟⋅2𝑟⋅𝑥4−2𝑟，令4﹣2r＝0得r＝2∴展开式中的常数项为24故答案为：4，242．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为512．【解答】解：∵（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴𝐶𝑛3=𝐶𝑛7，∴n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n﹣1＝29＝512，故答案为：512．3．若（1𝑥+x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为﹣2，展开式中的常数项为252．【解答】解：令x＝1得：（2﹣m）5＝1024，所以m＝﹣2，则（x+1𝑥+2）5展开式中的常数项为25+𝐶51•𝐶41•23+𝐶52•𝐶32•21＝252，故答案为：252．4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a2＝（）A．20B．30C．60D．80【解答】解：由二项式（x+y）n的展开式中的二项式系数和为64可知2n＝64，n＝6，则（2x+3）n＝（2x+3）6＝[2（x+1）+1]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a2=∁62•22•14＝60．故选：C．题型四.二项式定理综合1．若二项式（2﹣x）n（n∈N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则𝑏𝑎+𝑎𝑏的最小值是（）A．2B．136C．73D．156【解答】解：取x＝﹣1，得a＝3n，又b＝2n，∴𝑏𝑎=2𝑛3𝑛=(23)𝑛，∴𝑏𝑎+𝑎𝑏=(23)𝑛+(32)𝑛≥23+32=136．故选：B．2．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则x＝10，或110．【解答】解：由题意可得，末三项的二项式系数分别为𝐶𝑛𝑛，𝐶𝑛𝑛−1，𝐶𝑛𝑛−2，∴𝐶𝑛𝑛+𝐶𝑛𝑛−1+𝐶𝑛𝑛−2=22，即𝐶𝑛0+𝐶𝑛1+𝐶𝑛2=22，求得n＝6．故通项公式为Tr+1=𝐶6𝑟•x（6﹣r）lgx，显然当r＝3时，系数最大为𝐶63=20，故有𝐶63•（xlgx）3＝20000，∴x3lgx＝1000，∴3（lgx）2＝3，求得lgx＝±1，可得x＝10，或x=110，故答案为：10，或110．3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为﹣462（结果用数值表示）【解答】解：在二项式（x﹣1）11的展开式中，通项公式为Tr+1=𝐶11𝑟•x11﹣r•（﹣1）r，要使此项的系数最小，需r为奇数，且𝐶11𝑟最大．根据二项式系数的性质可得，当r＝5或6时，𝐶11𝑟最大，故系数最小的项为第6项（r＝5），等于−𝐶115=−462，故答案为﹣462．4．若(1−𝑥)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝（）A．0B．1C．32D．﹣1【解答】解：Tr+1=∁5𝑟(−𝑥)𝑟=（﹣1）r∁5𝑟xr，当r为奇数时，𝑎𝑟∁5𝑟＜0．当r为偶数时，𝑎𝑟∁5𝑟＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝a0+a1+a2+a3+a4+a5．对(1−𝑥)5=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5，令x＝1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝（1﹣1）2＝0．故选：A．题型五.杨辉三角1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．12345…20132014201520163579…40274029403181216…805680602028…16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M＝（1+2016）•22014＝2017×22014，故选：B．2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1𝑛（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11=12+12，12=13+16，13=14+112，…，则第9行第4个数（从左往右数）为1504．【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），由题意知a（6，1）=16，a（7，1）=17，a（8，1）=18，a（9，1）=19∴a（7，2）＝a（6，1）﹣a（7，1）=142，a（8，2）＝a（7，1）﹣a（8，1）=156，a（9，2）＝a（8，1）﹣a（9，1）=172，a（8，3）＝a（7，2）﹣a（8，2）=1168，a（9，3）＝a（8，2）﹣a（9，2）=1252a（9，4）＝a（8，3）﹣a（9，3）=1504故答案为：1504．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/2611:13:06；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067课后作业.二项式定理1．在二项式（√2+x）9展开式中，常数项是16√2，系数为有理数的项的个数是5．【解答】解：二项式(√2+𝑥)9的展开式的通项为𝑇𝑟+1=𝐶9𝑟(√2)9−𝑟𝑥𝑟=29−𝑟2𝐶9𝑟𝑥𝑟．由r＝0，得常数项是𝑇1=16√2；当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：16√2，5．2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（）A．28B．36C．56D．84【解答】解：二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，∴n＝8．通项公式T2+1=∁82x2＝28x2．则x2项的系数为28．故选：A．3．已知(𝑥−13𝑥)𝑛的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是﹣4．【解答】解：因为(𝑥−13𝑥)𝑛的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，所以𝐶𝑛5=𝐶𝑛7，所以n＝12，则展开式的通项公式为：Tr+1=𝐶12𝑟•x12﹣r•（−13𝑥）r＝（−13）r•𝐶12𝑟•x12﹣2r，令12﹣