【新高考复习】专题16统计与统计案例 16.2统计案例 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原

专题十六《统计与统计案例》讲义16.2统计案例题型一.一元线性回归模型1．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x（百个）与相应加工总时长y（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为𝑦^=0.7x+0.05，则下列结论错误的是（）x2345y1.52m3.5A．加工总时长与生产零件数呈正相关B．该回归直线一定过点（3.5，2.5）C．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时D．m的值是2.852．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂．已知∑10𝑖=1𝑥𝑖=225，∑10𝑖=1𝑦𝑖=1600，𝑏̂=4．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（）A．160B．162C．166D．1703．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bxB．y＝a+bx2C．y＝a+bexD．y＝a+blnx4．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：𝑦̂=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：𝑦̂=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．5．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7𝑖=1yi＝9.32，∑7𝑖=1tiyi＝40.17，√∑7𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2=0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r=∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)√∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2，回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏̂=∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)(𝑦𝑖−𝑦)∑𝑛𝑖=1(𝑡𝑖−𝑡)2，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑡．6．（2018秋•岳麓区校级月考）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：周数x654321正常值y556372809099（1）作出散点图：（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂x+𝑎̂（精确到0.01）；（3）根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中𝑏̂=∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑛𝑖=1𝑥𝑖2−𝑛𝑥2，∑6𝑖=1xiyi＝1.452，∑6𝑖=1x𝑖2=91，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥．7．（2020秋•昌江区校级期中）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．𝑥𝑦𝑤∑8𝑖=1（xi−𝑥）2∑8𝑖=1（wi−𝑤）2∑8𝑖=1（xi−𝑥）（yi−𝑦）∑8𝑖=1（wi−𝑤）（yi−𝑦）46.65636.8289.81.61469108.8表中𝑤𝑖=√𝑥𝑖，𝑤=18∑8𝑖=1𝑤𝑖．附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑛𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢)(𝑣𝑖−𝑣)∑𝑛𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢)2，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．（1）根据散点图判断y＝a+bx和y＝c+d√𝑥哪一个适宜作为销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x，根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？题型二.独立性检验1．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型Hln1流感的预防作用，把1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（）A．这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的有效率为1%B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型Hln1C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”2．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（）P（K2≥k）0.100.050.025k2.7063.8415.024A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”3．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下所示的列联表．经计算K2的观测值k≈4.762，则可以推断出（）满意不满意男3020女4010P（k2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异4．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)．5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8286．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数（2）请依上述支持率完成下表：年龄分布是否支持[30，40）和[40，50）[50，60）和[60，70）合计支持不支持合计根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？附表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中n＝a+b+c+d参考数据：125×33＝15×275，125×97＝25×485）题型三.统计案例综合1．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．（1）求图中a的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望EX．附：参考公式与参考数据：K2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.8282．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810