【新高考复习】专题03 函数及其表示方法-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（解析版）

2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）专题03函数及其表示方法一、单选题1.若函数f（x）＝ln（e2x﹣aex+1）对x∈R恒有意义，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，2）【答案】D【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求出a的取值范围即可．【解答】解：由题意得：e2x﹣aex+1＞0恒成立，即a＜＝ex+恒成立，∵ex+≥2，当且仅当ex＝1即x＝0时“＝”成立，故a＜2，故选：D．【知识点】函数的定义域及其求法2.已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【答案】A【分析】根据函数f（x）的定义域，列出使函数g（x）有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（﹣1，1），令，解得，即1＜x＜2，所以函数的定义域为（1，2）．故选：A．【知识点】函数的定义域及其求法3.已知函数的值域为[0，+∞），则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4]C．（0，4）D．[4，+∞）【答案】D【分析】当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；要使函数的值域为[0，+∞），需二次三项式mx2+mx+1对应的二次函数开口向上且判别式大于等于0，由此联立不等式组求解．【解答】解：当m＝0时，mx2+mx+1＝1对任意实数x恒成立，不合题意；要使函数的值域为[0，+∞），则，解得m≥4．∴m的取值范围是[4，+∞）．故选：D．【知识点】函数的值域4.设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）＝x，则x∈[﹣2，0]时，f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2+|x+1|B．f（x）＝3﹣|x+1|C．f（x）＝2﹣xD．f（x）＝x+4【答案】B【分析】①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，由题意可得：f（x+4）＝x+4．再根据函数的周期性可得f（x）＝f（x+4）＝x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，由题意可得：f（2﹣x）＝2﹣x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．【解答】解：①当x∈[﹣2，﹣1]时，则x+4∈[2，3]，因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x，所以f（x+4）＝x+4．又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（x）＝f（x+4）＝x+4．所以当x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝x+4．②当x∈[﹣1，0]时，则2﹣x∈[2，3]，因为当x∈[2，3]时，f（x）＝x，所以f（2﹣x）＝2﹣x．又因为f（x）是周期为2的周期函数，所以f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．因为函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，所以f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x．所以由①②可得当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|．故选：B．【知识点】奇函数、偶函数、函数的周期性、函数解析式的求解及常用方法5.函数f（x）＝axm（1﹣2x）n（a＞0）在区间[0，]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（）A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝3，n＝1【答案】D【分析】由图得，原函数的极大值点约为0.375．把选项代入验证看哪个对应的极大值点符合要求即可得出答案．【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点约为0.375．当m＝1，n＝1时，f（x）＝ax（1﹣2x）＝﹣2a（x﹣）2+．在x＝处有极大值，故A错误；当m＝1，n＝2时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax（1﹣2x）2＝a（4x3﹣4x2+x），所以f′（x）＝a（2x﹣1）（6x﹣1），a＞0，令f′（x）＝0⇒x＝，x＝，即函数在x＝处有极大值，故B错误；当m＝2，n＝3时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax2（1﹣2x）3，有f'（x）＝a（1﹣2x）2（2x﹣10x2），令f′（x）＝0⇒x＝0，x＝，x＝，即函数在x＝处有极大值，故C错误；当m＝3，n＝1时，f（x）＝axm（1﹣2x）n＝ax3（1﹣2x）＝a（x3﹣2x4），有f′（x）＝ax2（3﹣8x），令f′（x）＝0，⇒x＝0，x＝，即函数在x＝处有极大值，故D正确．故选：D．【知识点】函数的图象与图象的变换、函数解析式的求解及常用方法6.函数f（x）＝sin（）+cos（）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令，结合复合函数的单调性可知函数f（x）先增后减，进而排除选项A，B；再根据时，f（x）＜0，f（0）＝1，排除选项D，进而得解．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，令，可知函数t（x）在R上单调递增，且t（x）的值域为（﹣1，1），又因为，结合复合函数的单调性，可知函数f（x）先增后减，故选项A，B错误；当时，f（x）＜0，f（0）＝1，故选项D错误．故选：C．【知识点】函数的图象与图象的变换7.已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f（x）的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y＝0，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数的问题．【解答】解：方程f2（x）﹣f（x）＝0可解出f（x）＝0或f（x）＝1，方程f2（x）﹣f（x）＝0的不相等的实根个数即两个函数f（x）＝0或f（x）＝1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y＝0，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，如图，由图象，y＝1的图象与函数f（x）的图象的交点个数有四个，y＝0的图象与函数f（x）的图象的交点个数有三个，故方程f2（x）﹣f（x）＝0有七个解，故选：C．【知识点】函数的零点与方程根的关系、分段函数的解析式求法及其图象的作法8.如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x2ln|x|B．f（x）＝xlnxC．D．【答案】C【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x＞0时，，从而排除选项D，只能选C．【解答】解：∵f（x）的图象关于原点对称；∴函数f（x）是奇函数；f（x）＝x2ln|x|为偶函数，f（x）＝xlnx是非奇非偶函数，∴A，B都错误；∵x＞0时，，∴D错误．故选：C．【知识点】函数解析式的求解及常用方法二、多选题9.下列函数中，值域为[2，+∞）的是（）A．y＝x+，x＞0B．＝cosx+，x∈（﹣，）C．y＝D．y＝x+【答案】ABC【分析】根据基本不等式（a＞0）即可判断选项A，B，C都正确，对于选项D，x＜0时，y＜0，从而判断选项D错误，从而得出正确的选项．【解答】解：A．x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，符合题意，该选项正确；B.时，0＜cosx≤1，，当且仅当cosx＝1时取等号，符合题意，该选项正确；C.，当且仅当，即x＝0时取等号，该选项正确；D．当x＜0时，，该选项错误．故选：ABC．【知识点】函数的值域10.已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M到N的函数的是（）A．y＝2xB．y＝|x|C．y＝x+2D．y＝x2【答案】BD【分析】根据题意，由函数的定义依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；对于B，y＝|x|，任取x∈M，总有y＝|x||∈N，故B正确，对于C，y＝x+2，当x＝4时，y＝6∉N，故C错误，对于D，y＝x2，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．故选：BD．【知识点】函数的概念及其构成要素11.下列各组函数中是同一函数的是（）A．f（x）＝x与g（x）＝B．f（x）＝与g（x）＝C．f（x）＝x﹣1与g（x）＝D．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1【答案】BD【分析】根据相同函数的定义：定义域和对应关系都相同．【解答】解：对于A：f（x）＝x与g（x）＝|x|的对应关系不同，因此不是同一函数；对于B：f（x）＝＝与g（x）＝，因此是同一函数；对于C：f（x）＝x﹣1与g（x）＝＝＝x﹣1，（x≠﹣1），定义域不同，因此不是同一函数；对于D：f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1，定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．故选：BD．【知识点】判断两个函数是否为同一函数12.若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（）A．2B．3C．4D．5【答案】ABC【分析】求出二次函数的对称轴方程，可知当m＝2时函数有最小值，再由f（0）＝﹣4结合二次函数的对称性可得m的可能取值．【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．∴实数m的值可能为2，3，4．故选：ABC．【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法13.已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x≥0，sgn（x）＝1C．对任意的x∈R，x•sgn（x）＝|x|D．y＝2x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）【答案】AC【分析】由已知结合函数单调性的定义及指数函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：sgn（x）＝的图象如图所示，图象关于原点对称，为奇函数，A正确；当x＝0时，x＝0，sgn（x）＝0，当x＞0时，x＞0，sgn（x）＝1，B错误；因为x•sgn（x）＝＝|x|，C正确；因为y＝2xsgn（﹣x）＝其值域为[0，1）∪（﹣∞，﹣1]，D不正确．故选：AC．【知识点】函数的值域14.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．f（a）＞f（e）＞f（d）B．函数f（x）在[a，b]上递增，在[b，d]上递减C．函数f（x）的极值点为c，eD．函数f（x）的极大值为f（b）【答案】ABD【分析】根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得f（x）的单调性，判断函数的极值即可．【解答】解：由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）＞0时f（x）递增，f′（x）＜0时f（x）递减，结合所给图象知，x∈（a，c）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（a，c）上单调递增，x∈（c，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（c，e）上单调递减，函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；f（c）＞f（e），故选：ABD．【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的图象与图象的变换三、填空题15.已知函数，则该函数的定义域是．【答案】（-1，1）【分析】根据对数函数成立的条件即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即（x﹣1）（x+1）＜0，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【知识点】函数的定义域及其求法16.若函数f（x）＝（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+log＝﹣．【答案】-1【分析】因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，根据f（0）＝1解得a＝2，再代入原式可得．【解答】解：因为f（1）＝0，所以f（x）是[0，1]上的递减函数，所以f（0）＝1，即＝1，解得a＝2，所以原式＝log2+log＝log2）＝﹣1，故答案为：﹣1．【知识点】函数的值域、函数的定义域及其求法17.对于函数y＝f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y＝f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y＝f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封